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1. 函数的概念

当一件事情的变化会引起另一件事情的变化时,便称这两件事情构成了一个函数关系,两个事情之间如何相互影响,就是一个对应法则。

1.1 函数的概念

设 x 和 y 是两个变量,D 是一个给定的数集,若对于每一个值 $x\in D$ ,按照一定的法则,有一个确定的值 y 与之对应,则称 y 为 x 的函数,记为 $y=f(x)$ ,称 x 为自变量,y 为因变量。x 的集合为定义域,y 的集合为值域。

1.2 反函数的概念

设函数 $y=f(x)$ 的定义域为 D,值域为 R。如果对于每一个 $y\in R$ ,必存在 $x\in D$ 使得 $y=f(x)$ 成立,则由此定义了一个新的函数 $x=\phi(y)$ 。这个函数就称为函数 $y=f(x)$ 的反函数,一般记为 $x=f^{-1}(y)$ ,它的定义域是 R,值域为 D。相对于反函数来说,原来的函数也称为直接函数。以下两点需要说明

求证 $y=\frac 1 2 (e^x-e^{-x})$ 的反函数是 $y=\ln(x+\sqrt{x^2+1})$ 。

1.3 复合函数的概念

设 $y=f(u)$ 的定义域为 $D_1$ ,函数 $u=g(x)$ 在 D 上有定义,且 $g(D)\subset D_1$ ,则由

$y=f[g(x)] \ (x\in D)$

确定的函数,称为由函数 $u=g(x)$ 和函数 $y=f(u)$ 构成的复合函数,它的定义域为 D,u 称为中间变量,对于复合函数,重要的是熟练掌握分解与复合的技巧。

初等函数的复合函数还是初等函数。

1.4 基本初等函数

以下 5 类函数称为基本初等函数:幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数。

  1. 幂函数

    • $y=x^\mu,\mu\in R$

    • 定义域和值域取决于 $\mu$ 的值,当 x > 0 时,$y=x^\mu$ 都有定义。

    • 常用的幂函数有

      $y=x,y=x^2,y=\sqrt x,y=x^3,y=\frac 1 x$

  2. 指数函数

    • $y=a^x(a>0,a\neq 1),x \in R,y>0$
    • 当 a > 1 时,单调增加;当 0 < a < 1 时,单调减少
    • 常用的指数函数:$y=e^x$
    • 特殊函数值:$a^0=1,e^0=1$
  3. 对数函数

    • $y=log_ax(a>0,a\neq 1)$ 是 $y=a^x$ 的反函数。$x>0,y\in R$

    • a > 1 单调增加;0<a<1 单调减少

    • 常用的对数函数:$y=\ln x$

    • 特殊函数值:$\log_a1=0,\log_aa=1,\ln 1=0,\ln e =1$

    • 常用公式

      $x=e^{\ln x}, u^v=e^{\ln u^v=e^{v \ln u}}(x>0,u>0)$

  4. 三角函数

    1. 正弦函数与余弦函数

      • 正弦函数 $y=\sin x$ ,余弦函数 $y=\cos x$ ,其中 $x \in R, y\in [-1,1]$ 。
      • 正弦是奇函数,余弦是偶函数
      • 周期均为 $2\pi$
      • 特殊函数值,有点多,不写了
    2. 正切函数与余切函数

      • 正切函数 $y=\tan x$ ,余切函数 $y=\cot x$

      • 定义域:正切函数的定义域为 $x\neq kx+\frac \pi 2(k\in Z)$ 的一切实数 x,余切函数的定义域为 $x\neq k\pi(k\in Z)$ 的一切实数 x。

        值域:$y\in R$

      • 均为奇函数

      • 均以 $\pi$ 为最小正周期。

      • 特殊函数值就不写了,想象图

    3. 正割函数与余割函数

      • 正割函数 $y=\sec x$ ,余割函数 $y=\csc x$

      • 正割函数的定义域为 $x\neq k\pi+\frac \pi 2(k \in Z)$ 的一切实数 x ,余割函数的定义域为 $x \neq k\pi(k\in Z)$ 的一切实数 x。

        值域都为 $(-\infty,-1 ]\cup[1,+\infty)$

      • 正割函数为偶函数,余割函数为奇函数(在其定义域内)

      • 最小正周期为 $2\pi$ 。

  5. 反三角函数

    1. 反正弦函数与反余弦函数

      • 反正弦函数 $y=\arcsin x$ ,反余弦函数 $y=\arccos x$

        $y=\arcsin x$ 是 $y=\sin x(-\frac \pi 2 \le x \le \frac \pi 2)$ 的反函数,$y=\arccos x$ 是 $y= \cos x(0\le x\le \pi)$ 的反函数。

      • 定义域:[-1,1]

        反正弦函数的值域为 $[-\frac \pi x, \frac \pi x]$ ,反余弦函数的值域为 $[0, \pi]$ 。

      • 反正弦函数单调增加,反余弦函数单调减少

      • 反正弦函数是奇函数,反余弦函数非奇非偶

      • 两个函数在定义域内有界

      • 性质:$\arcsin x + \arccos x = \frac \pi 2 (-1 \le x\le 1)$

      • 函数特殊值想象图像

    2. 反正切函数与反余切函数

      • 反正切函数 $y=\arctan x$ ,反余切函数 $y=arccot \ x$

        $y=\arctan x$ 是 $y=\tan x(-\frac \pi 2 < x < \frac \pi 2)$ 的反函数,$y=arccot \ x$ 是 $y = \cot x(0<x<\pi)$ 的反函数。

      • 定义域均为 R,反正切函数的值域为 $(-\frac \pi 2,\frac \pi 2)$ ,反余切函数的值域为 $(0,\pi)$ 。

      • 反正切函数单调增加,反余切函数单调减少

      • 反正切函数是奇函数,反余切函数非奇非偶

      • 两函数在定义域内有界。

      • 性质: $\arctan x + arccot \ x = \frac \pi x(-\infty < x < + \infty)$

      • 特殊函数值,自己想象图像

      • 极限:自己想象图像

1.5 函数大家庭中的几位重要人员

  1. 分段函数

    在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数,需要强调一句,分段函数是用几个式子来表示的一个(不是几个)函数,一般来说它不是初等函数,分段函数的典型形式如下

    • 绝对值函数 该函数在 x=0 处连续但不可导

      绝对值函数和最大值函数、最小值函数有某种 “亲密” 的关系。

      $U=max\lbrace f(x),g(x)\rbrace$

      $V=min\lbrace f(x),g(x)\rbrace$ 则

      $U+V=f(x) +g(x),U-V=\mid f(x)-g(x)\mid,UV=f(x)g(x)$

    • 符号函数 对于任何实数 x,有 $x=\mid x\mid sgn \ x$

    • 取整函数 y=[x]

      极限:$\lim\limits_{x\rightarrow0^+} [x]=0$ ,$\lim\limits_{x\rightarrow0^-} [x]=0$

  2. 幂指函数

    形如 $u(x)^{v(x)}$ 的一类函数,通常将其转化为复合函数 $e^{v(x)\ln u(x)}$ 来处理,所以可见,幂指函数是初等函数。

2. 函数的四种特性

2.1 有界性

设 $f(x)$ 的定义域为 D,数集 $I\subset D$ ,如果存在某个正数 M,使对任一 $x\in I$ ,有 $\mid f(x) \mid \le M$ ,则称 $f(x)$ 在 $I$ 上有界;如果这样的 M 不存在,则称 $f(x)$ 在 $I$ 上无界

记忆方法:图像上下有两条横线把函数包起来了。

2.2 单调性

设 $f(x)$ 的定义域为 D,区间 $I\subset D$ 。如果对于区间 I 上任意两点 $x_1,x_2$ ,当 $x_1 < x_2$ 时,恒有 $f(x_1) < f(x_2)$ ,则称 $f(x)$ 在区间 $I$ 上单调增加。如果对于区间 I 上两点 $x_1,x_2$ ,当$x_1 <x_2$ 时,恒有 $f(x_1) > f(x_2)$ ,则称 f(x) 在区间 I 上单调减少

2.3 奇偶性

设 f(x) 的定义域 D 关于原点对称(即若 $x\in D$ ,则 $-x \in D$)。如果对于任一 $x\in D $ ,恒有 $f(-x)=f(x)$ ,则称 f(x) 为偶函数。如果对于任一 $x \in D$ ,恒有 $f(-x)=-f(x)$ ,则称 f(x) 为奇函数,我们熟知的是,偶函数的图形关于 y 轴对称,奇函数的图形关于原点对称。

2.4 周期性

设 f(x) 的定义域为 D,如果存在一个正数 T,使得对于任一 x∈D,有 $x\pm T \in D$ ,且 $f(x+T)=f(x)$ ,则称 f(x) 为周期函数,T 称为 f(x) 的周期。从几何图形上看,在周期函数的定义域内,相邻两个长度为 T 的区间上,函数的图形完全一样。

3. 常用基础知识

基础知识都是高中学的,但是后面经常用到,这里记录一下

3.1 数列基础

  1. 等差数列

    • 首项为 $a_1$ ,公差为 $d(d\neq 0)$ 的数列 $a_1,a_1+d,a_1+2d,\cdots,a_1+(n-1)d,\cdots.$
    • 通项公式:$a_n=a_1+(n-1)d$
    • 前 n 项和 $S_n=\frac n 2[2a_1+(n-1)d]=\frac n 2 (a_1+a_n)$
  2. 等比数列