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1. 数列极限的概率、性质与定理

极限,从通俗、直观的意义上讲,是一个 ”无限趋近的过程“ 。

1.1 数列极限定义

对于任意的 $\epsilon >0$ (不论它多么小),总存在正整数 N,使得当 n>N 时,$\mid x_n -a\mid < \epsilon$ 恒成立,则称数 a 是数列 $\lbrace x_n \rbrace $ 的极限,或者称数列 $\lbrace x_n\rbrace$ 收敛于 a,记为

$\lim \limits_{n\rightarrow\infty } x_n =a$ 或 $x_n \rightarrow a(n\rightarrow\infty)$

如果不存在这样的数 a,就说数列 {$x_n $} 是发散的。

$\lim \limits_{n\rightarrow\infty } x_n =a$ 等价于

$\exists N\in N_+,when \ n > N,\mid x_n-a \mid < \epsilon.$

1.2 数列收敛的充要条件

  1. 子列

    从数列中选取无穷多项,并按原来的先后顺序组成新的数列,称新数列为原数列的子列。

  2. 若数列 {$a_n$} 收敛,则其子列也收敛,且都收敛到相同的值。

1.3 收敛数列的性质

  1. 唯一性

    如果数列极限存在,则唯一。

  2. 有界性

    如果某数列收敛,该数列必有界。

  3. 保号性

    如果数列收敛到 a 且 a 非零,那么从第 N 项开始,数列元素和 a 同号。

1.4 极限运算规则

设 $\lim\limits_{x\rightarrow\infty}x_n=a,\lim\limits_{x\rightarrow\infty}y_n=b$ ,则

  1. $\lim\limits_{x\rightarrow\infty}(x_n \pm y_n)=a \pm b$
  2. $\lim\limits_{x\rightarrow\infty}x_n y_n=a b$
  3. 若 $b\neq0,y_n\neq0$ ,则 $\lim\limits_{x\rightarrow\infty} \frac{x_n}{y_n}=\frac a b$

运算规则可以推广至有限个数列情形。

1.5 数列极限存在准则

  1. 夹逼定理

    若 $y_n \le x_n \le z_n,(n=1,2,3,\cdots)$ ,且 $\lbrace y_n \rbrace$ 和 $\lbrace z_n \rbrace$ 的极限都是 a,则 $\lbrace x_n \rbrace$ 的极限也是 a。

  2. 单调有限数列必有极限。

例子:利用 2 证明数列 $\lbrace (1+ \frac 1 n)^n \rbrace$ 的极限存在。

2. 函数极限的概念、性质与定理

2.1 邻域

  1. 一维的情形

    邻域:以点 $x_0$ 为中心的任何开区间称为点 $x_0$ 的领域,记为 $\bigcup(x_0)$ 。

    δ 领域:设 δ 是一正数,则称开区间 $(x_0-\delta,x_0 +\delta)$ 为点 $x_0$ 的 δ 邻域,记为 $\bigcup(x_0,\delta)$ ,即

    $U(x_0,\delta)=\lbrace x \mid x_0-\delta<x<x_0+\delta \rbrace = \lbrace x_0\mid\mid x-x_0\mid <\delta \rbrace$

    其中点 $x_0$ 称为邻域的中心,δ 称为邻域的半径。

    去心 δ 邻域:$\bigcup\limits^\circ(x_0,\delta)=\lbrace x_0\mid0 < \mid x-x_0\mid <\delta \rbrace$

    左、右 δ 邻域:$\lbrace x_0\mid0 < x-x_0 <\delta \rbrace$ 称为点 $x_0$ 的右 δ 邻域,记为 $U^+(x_0,\delta)$ ;$\lbrace x_0\mid0 < x_0-x <\delta \rbrace$ 称为点 $x_0$ 的左 δ 邻域,记为 $U^-(x_0,\delta)$ 。

  2. 二维的情形

    δ 邻域:以 $ P_0$ 为原点,δ 为半径的区域

    去心 δ 邻域:不包括 $P_0$ δ 邻域。

    δ 邻域的几何意义:$U(P_0,\delta)$ 表示 $xOy$ 平面上以点 $P_0(x_0,y_0)$ 为中心,δ>0 为半径的圆的内部的点 P(x,y) 的全体。

邻域与区间(区域):邻域当然属于区间(区域)的范畴,但事实上,邻域通常表示 “一个局部位置” ,比如 “点 $x_0$ 的 δ 邻域” ,就可以称为 “点 $x_0$ 的附近” 。于是,函数 f(x) 在点 $x_0$ 的某 δ 邻域内有定义也就是函数 f(x) 在点 $x_0$ 的附近有定义,这个 “附近” 到底有多近多远,既难以说明也没有必要说明。

例如:设函数 y=y(x) 由方程 $y\ln y-x+y=0$ 确定,试判断曲线 y=y(x) 在点 (1,1) 附近的凹凸性。

2.2 函数极限的定义

设函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的某一去心邻域内有定义,若存在常数 A,对于任意给定的 ε>0(不论它多么小),总存在整数 δ ,使得当 $0 < \mid x-x_0\mid < \delta$ 时,对应的函数值 $f(x)$ 都满足不等式 $\mid f(x)-A\mid<\varepsilon$ ,则 A 就叫作函数 $f(x)$ 当 $x\rightarrow x_0$ 时的极限,记为

$\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)=A$ 或 $f(x)\rightarrow A (x\rightarrow x_0)$

写成 ε-δ 语言:$\forall \epsilon>0,\exists \delta>0,when \ 0<\mid x-x_0\mid<\delta,have \ \mid f(x)-A\mid<\epsilon.$

2.3 函数的单侧极限

若当 $x\rightarrow x_0^-$ 时,$f(x)$ 无限接近于某常数 A,则常数 A 叫作函数 $f(x)$ 当 $x\rightarrow x_0$ 时的左极限,记为

$\lim\limits_{x\rightarrow x_0^-}f(x)=A$ 或 $f(x_0^-) = A$

若当 $x\rightarrow x_0^+$ 时,$f(x)$ 无限接近于某常数 A,则常数 A 叫作函数 $f(x)$ 当 $x\rightarrow x_0$ 时的右极限,记为

$\lim\limits_{x\rightarrow x_0^+}f(x)=A$ 或 $f(x_0^+) = A$

2.4 函数极限存在的充要条件

$\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)=A \iff \lim\limits_{x\rightarrow x_0^-}f(x)=A \ and \ \lim\limits_{x\rightarrow x_0^+}f(x)=A$

$\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)=A \iff f(x)=A+\alpha(x), \lim\limits_{x\rightarrow x_0}\alpha(x)=0$

2.5 函数极限的性质

  1. 唯一性

    如果极限 $\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)$ 存在,那么极限唯一。

  2. 局部有界性

    如果 $\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)=A$ ,则存在正整数 M 和 δ,使得当 $0<\mid x-x_0\mid<\delta$ 时,有 $\mid f(x)\mid \le M$

  3. 局部保号性

    如果 $f(x)\rightarrow A (x\rightarrow x_0)$ ,且 A>0(或 A<0),那么存在常数 δ>0 ,使得当 $0<\mid x-x_0\mid<\delta$ 时,有 f(x)>0(或 f(x)<0)。

2.6 无穷小与无穷大

  1. 无穷小定义

    如果当 $x\rightarrow x_0$ (或 x→∞)时,函数 f(x) 的极限为零,那么称函数 f(x) 为当 $x\rightarrow x_0$ (或 x→∞) 时的无穷小,记为

    $\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)=0(or \ \lim\limits_{x\rightarrow \infty}f(x)=0).$

    特别地,以零为极限的数列 $\lbrace x_0\rbrace$ 称为 n→∞ 时的无穷小。

  2. 无穷大定义

    如果当 $x\rightarrow x_0$ (或 x→∞)时,函数 $\mid f(x)\mid $ 无限增大,那么称函数 f(x) 为当 $x\rightarrow x_0$ (或 x→∞) 时的无穷大,记为

    $\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)=\infty(or \ \lim\limits_{x\rightarrow \infty}f(x)=\infty).$

    特别地,以零为极限的数列 $\lbrace x_0\rbrace$ 称为 n→∞ 时的无穷小。

  3. 无穷小和无穷大的关系

    在自变量的同一变化过程中,如果 $f(x)$ 为无穷大,则 $1/f(x)$ 为无穷小;反之,如果 f(x) 为无穷小,且 $f(x) \neq 0$ ,则 $1/f(x)$ 为无穷大。

  4. 无穷小的比阶

    设在同一自变量的变化过程中,$\lim \alpha(x)=0$ ,$\lim \beta(x)=0$ ,且 $\beta(x)\neq0$ ,则

    1. 若 $\lim \alpha(x)/\beta(x)=0$ ,则称 α(x) 是比 β(x) 高阶的无穷小,记为 α(x)=o(β(x));
    2. 若 $\lim \alpha(x)/\beta(x)=\infty$ ,则称 α(x) 是比 β(x) 低阶的无穷小;
    3. 若 $\lim \alpha(x)/\beta(x)=c\neq 0$ ,则称 α(x) 与 β(x) 是同阶的无穷小;
    4. 若 $\lim \alpha(x)/\beta(x)=1$ ,则称 α(x) 与 β(x) 是等阶的无穷小,记为 α(x)~β(x);
    5. 若 $\lim \alpha(x)/[\beta(x)]^k=c \neq 0,k>0$ ,则称 α(x) 是 β(x) k 阶的无穷小;

    注意:并不是任意两个无穷小都可进行比阶的,例如当 x→0 时,$x\sin \frac 1 x$ 与 $x^2$ 虽然都是无穷小,但不可比阶。

2.7 极限运算规则

若 $\lim f(x)=A,\lim g(x)=B$ ,那么

  1. $\lim[kf(x)\pm lg(x)] =k\lim f(x)\pm l\lim g(x)=kA\pm lB$ ,其中 k,l 为常数;

  2. $\lim[f(x)\cdot g(x)]=\lim f(x) \cdot \lim g(x)=A\cdot B$ ,特别地,若 $\lim f(x)$ 存在,n 为正整数,则

    $\lim [f(x)]^n=[\lim f(x)]^n$

  3. $\lim \frac {f(x)} {g(x)}= \frac {\lim f(x)} {\lim g(x)} = \frac A B(B\neq 0)$

特别地,我们提出下面的无穷小运算规则

2.8 无穷小运算规则

  1. 有限个无穷小的和时无穷小

  2. 有界函数与无穷小的乘积是无穷小

  3. 有限个无穷小的乘积是无穷小,(注意是有限个,不是无穷个)

  4. 无穷小的运算

    设 m,n 为正整数,则

    1. $o(x^m)\pm o(x^n)=o(x^l),l=min\lbrace m,n\rbrace$ (加减法时低阶 “吸收” 高阶)
    2. $o(x^m)\cdot o(x^n)=o(x^{m+n}),x^m\cdot o(x^n)=o(x^{m+n})$ (乘法时阶数 “累加”)
    3. $o(x^m)= o(kx^m)=k\cdot o(x^m),k\neq 0$ 且为常数 (非零常数不影响阶数)

2.9 常用的等价无穷小

当 x→0 时,常用的等价无穷小有:

$\sin x\sim x,\tan x\sim x,\arcsin x\sim x$

$\arctan x \sim x,\ln(1+x)\sim x,e^x-1\sim x$

$a^x-1\sim x\ln a,1-\cos x\sim\frac 1 2 x^2,(1+x)^\alpha-1\sim\alpha x$

这里的 x 可以替换成一个整体,但要注意 2.6 说的注意事项

2.10 函数极限存在准则:夹逼准则

如果函数 f(x),g(x) 及 h(x) 满足下列条件:

  1. $g(x)\le f(x)\le h(x)$
  2. $\lim g(x)=A,\lim h(x)=A$

则 $\lim f(x)$ 存在,且 $\lim f(x)=A$ 。

2.11 洛必达法则

  1. 法则一。设

    1. 当 $x\rightarrow a$ (或 $x\rightarrow \infty$)时,函数 f(x) 及 F(x) 都趋于零
    2. f’(x) 及 F‘(x) 在点 a 的某去心邻域内(或当 $\mid x\mid > X$ ,此时 X 为充分大的正数)存在,且 $F’(x) \neq0$
    3. $\lim\limits_{x\rightarrow a}\frac {f’(x)}{F’(x)}$ (或 $\lim\limits_{x\rightarrow \infty}\frac {f’(x)}{F’(x)}$)存在或无穷大

  2. 法则二。设

    1. 当 $x\rightarrow a$ (或 $x\rightarrow \infty$)时,函数 f(x) 及 F(x) 都趋于无穷大
    2. f’(x) 及 F‘(x) 在点 a 的某去心邻域内(或当 $\mid x\mid > X$ ,此时 X 为充分大的正数)存在,且 $F’(x) \neq0$
    3. $\lim\limits_{x\rightarrow a}\frac {f’(x)}{F’(x)}$ (或 $\lim\limits_{x\rightarrow \infty}\frac {f’(x)}{F’(x)}$)存在或无穷大

其实两个法则无非就是 0/0 和 ∞/∞ 。

2.12 海涅定理(归结原则)

设 f(x) 在 $\bigcup\limits^\circ(x_0,\delta)$ 内有定义,则

$\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)=A$ 存在 $\iff$ 对任何以 $x_0$ 为极限的数列 $\lbrace x_n\rbrace(x_n\neq x_0)$ ,极限 $\lim\limits_{n\rightarrow \infty}f(x_n)=A$ 存在。

其实就是谁接近 $x_0$ ,谁就接近 A,真是的这么多废话。

3. 函数的连续与间断

3.1 连续的定义

所谓连续,有两种定义方法。

  1. 设 f(x) 在点 $x_)$ 的某邻域内有定义,若

$\lim\limits_{\triangle x\rightarrow 0} \triangle y=\lim\limits_{\triangle x\rightarrow 0}[f(x_0+\triangle x)-f(x_0)]=0$

则称函数 f(x) 在点 $x_0$ 连续,点 $x_0$ 称为 f(x) 的连续点。

  1. 设函数 f(x) 在点 $x_0$ 的某个邻域内有定义,且有 $\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)=f(x_0)$ ,则称函数 f(x) 在点 $x_0$ 处连续。

一般用第二个定义,第一个稍微考考证明题。

3.2 间断点的定义

以下设函数 f(x) 在点 $x_0$ 的某去心邻域内有定义。

  1. 可去间断点

    若 $\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)=A\neq f(x_0)$ ($f(x_0)$ 甚至可以无定义),则这类间断点称为可去间断点。

  2. 跳跃间断点

    若 $\lim\limits_{x\rightarrow x_0^-}f(x)$ 与 $\lim\limits_{x\rightarrow x_0^+}f(x)$ 都存在但不相等,则这类间断点称为跳跃间断点。

    可去间断点和跳跃间断点统称为第一类间断点。

  3. 无穷间断点

    若 $\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)=\infty$ ,则这类间断点称为无穷间断点,如函数 y=1/x 的点 x=0 为无穷间断点

  4. 震荡间断点

    若 $\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)$ 震荡不存在,则这类间断点称为震荡间断点,如函数 y=sin(1/x) 在 x=0 处没有定义,且当 $x\rightarrow 0$ 时,函数值在 -1 和 1 这两个数之间交替震荡取值,极限不存在,故点 x=0 为函数 y=sin(1/x) 的震荡间断点

    无穷间断点和震荡间断点都属于第二类间断点,除此之外,还有不属于上述定义的第二类间断点,这里不讲。