higher mathematics

1. 极限的定义与三个性质

1.1 考察对极限定义的本质理解

(???)

1.2 证明函数极限的局部有界性和局部保号性

(???)

1.3 函数极限的性质

  1. 若某函数极限存在,你能想到什么

    说明左极限等于右极限,得到一个关系式。(2.4 、2.5)

  2. 如何证明一个函数的某一段有界

    • 连续闭区间必有界(2.6)
    • 连续开区间的左右两端有极限则有界。若要判断一个在 R 上的函数有界,需要证明函数是连续的且左极限和右极限都存在。(2.7)
  3. 如何证明一个函数无界

    合适的 M 和合适的 δ。利用定义反证即可。(2.7)

  4. 用极限来表示导数(2.8)

2. 数列极限的计算

  1. 夹逼定理

    对数列进行合适的变换,例如

    • 分母放缩(2.9-1、2.9-2)
    • 分段夹逼(2.10)这个最好画图,因为你没学过的话脑子是没有印象的。
  2. 定积分定义(???2.9-3)

  3. 级数求和理论(???2.9-4)

  4. 根据递推公式如何求极限。

    先利用单调有界数列必有极限证明其有极限;如果有极限的话,$x_n$ 和 $x_{n-1}$ 都趋向极限 A,将 A 带入递推公式求解即可。(2.11)

3. 函数极限的计算

函数极限的计算是高等数学计算的基础,根据自变量 x 的变化趋势可分为 6 种。解题主要分 3 步。

  1. 首先是化简,方法有如下
    • 提出极限不为 0 的因式
    • 等价无穷小代换
    • 恒等变形(基本的恒等变形法如提公因式、拆项、合并、分子分母同除变量的最高次幂,高级的恒等变换如变量代换、也叫换元法等),需要强调的是很多问题如果不化简就计算,可能计算会很复杂,甚至可能计算不出结果。
  2. 判断类型,有七种(0/0 、∞/∞,剩下的默记不写)
  3. 选择相应的方法计算。

3.1 0/0,∞/∞,0·∞

  1. 利用变量 u 将原本的某个整体替换(特别是 x 在分母上),然后利用洛必达法则。(2.13)
  2. 看见根号差,给我有理化。(2.14)
  3. 有理化之后,可能还需要进行变量替换(2.15、2.16),这招确实贱
  4. 常用 t=-x 来避免符号出错。(2.16)
  5. 将基本的等价无穷小代换公式广义化(2.17)

3.2 ∞-∞

一般处理这种问题有两个方法

  1. 有分母就通分,然后利用洛必达。(2.18)
  2. 如果没有分母则通过提取公因式,或者作倒代换,使其出现分母,再利用通分手段等恒等变换的方法,将加减法变形为乘除法。(???2.19)

3.3 ∞^0,0^0,1^∞​

  1. 利用对数函数(特别是 ln 函数)转化为 3.1 的类型(2.20)
  2. 利用重要极限(熟记 e 的由来)(???2.21、2.22)

4. 函数极限计算的综合题

掌握上面练习的 7 种基本未定式的计算后,就要学会处理函数极限计算的综合题。有如下

4.1 用好泰勒公式

首先,泰勒公式是考研数学的重要技术性工具,将 43 中的 8 个泰勒公式熟记于心

其次,掌握高阶无穷小的计算规则(内容 8)

最后,函数展开到合适的次幂。一般有如下规律

  1. A/B ,使用 ”上下同阶“ (2.23、2.24)
  2. A-B ,使用 “幂次最低” (2.25)

4.2 夹逼准则

利用不等式性质得到其左右两个极限都逼近某个数(2.26)

4.3 已知某一极限,求另一极限

  1. 已知极限,直接配凑(2.27)
  2. 已知有极限,配凑成极限为 0 的函数(2.28)

4.4 已知极限反求参数

  1. 已知极限求常数(2.29)
  2. 已知积分求常数(2.30)

4.5 无穷小比阶

  1. 配凑得到无穷小比阶(2.31)
  2. 熟记无穷小比阶(2.32)

4.6 极限变量趋向的同时性

  1. 同一极限号后同一变量的趋向具有同时性,不能人为地制造先后顺序(2.34)

5. 函数的连续与间断

5.1 概念题

  1. 找反例(2.35、2.36)

5.2 函数间断点的类型判别

  1. 可列个点的判断(2.37)

5.3 讨论用极限表示的函数、分段函数的连续性

  1. 先求极限,再判断(2.38、2.39)

5.4 已知函数连续的条件下,反求参数

  1. 根据间断点的类型求等式即可(2.40)

5.5 修改定义,使得函数连续

2.41


习题

  1. 间断点的判断利用夹逼定理(2.2)
  2. 指数函数的极限的分界线一般是 1 或 -1(2.4)
  3. 变量代换后利用洛必达(2.5)
  4. 遇到减法首先看看能不能通分,不然就等价转换(2.6)
  5. 1^∞ 类型的一般可以用洛必达,或者配凑得到重要极限化为 e (2.7)