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1. 导数与微分的概念

1.1 引例

  1. 想想平均变化率和瞬时变化率

    平均变化率可以理解为割线,瞬时变化率理解为切线。

1.2 导数的概念

函数的增量/自变量的增量,增量取极限,即为导数的概念。

  1. 单侧导数的概念,左侧逼近为左导数,右侧逼近为右导数。
  2. 函数 f(x) 处处可导的充要条件是左导和右导处处存在且相等。
  3. 虽然有无穷导数,但还是不记好,
  4. 知道狄利克雷函数。令 f(x)=x^2·D(x) ,唯有 x=0 处可导连续,但在 x=0 的领域内不连续,这是一个反例的存在。

1.3 导数的几何意义

  1. 某个点的切线的斜率

1.4 高阶导数的概念

导数的导数

1.5 微分的概念

微分的含义是用 “简单的量” 代替了 “复杂的量”,产生的误差又可以忽略不记,这就是可微的含义

Δy=AΔx+o(Δx)

1.6 可微的判别

  1. 写增量 Δy
  2. 写线性增量 AΔx
  3. (Δy-AΔx)/Δx,Δx 取极限

极限为 0,则可微,否则不可微。

1.7 可微的几何意义

在几何上的理解是,曲线增长是有个倾斜度的。可用切线近似代替曲线段。

2. 导数与微分的计算

2.1 四则运算

  1. 先和后微=先微后和
  2. 乘导=导不导+不导导
  3. 商导=(导不导-不导导)/不导的平方

2.2 复合函数的导数(微分)

后面记得乘中间变量 g(x) 的导数。

2.3 反函数的导数

f(x) 的导数 = φ(x) 的导数的倒数

φ(x) 是 f(x) 的反函数

2.4 参数方程所确定的函数的导数

类似 y/x=(y/t)·(t/x)

2.5 隐函数求导法

f(x,y)=0,将 y 看成中间变量即可,求导后变为 y’

2.6 对数求导法

对于多项相乘、开方、乘方的东西,可先求对数变为加减,再进行下一步打算

2.7 幂指函数求导法

e^ln(…)

2.8 高阶导数的运算

  1. 逐次求导、探索规律、得出通式。这里需要记住几个重要的公式(P64)
  2. 高阶求导公式
    • 加导=导加
    • 乘导=二项式展开(也叫莱布尼茨公式)
  3. 泰勒公式或者麦克劳林公式,有些函数很重要,又要老子记(P65)

2.9 参数方程确定的函数的二阶导数

首先化为参数的导数比,然后

商导=(导不导-不导导)/不导的三次方

2.10 反函数的二阶导数

导数之间成反比,然后

商导 = -导导/导的三次方

2.11 变限积分求导公式

其实就是一个函数的积分的导数,次数注意自变量也是函数的话要加进去。

2.12 基本初等函数的导数公式

P66 熟记且会证明,会证明是为了防止你忘了。