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1. 导数定义

1.1 考查导数定义的 “基本形式”

  1. 偶函数的导数是奇函数,奇函数的导数是偶函数(3.1)
  2. 周期函数的导数也是周期函数(3.2)
  3. 比较大小,一般利用几何图形等手段(3.3)
  4. 泰勒公式展开,然后进行求极限,得出导数值(3.4)
  5. 又轮到重要极限来折腾了,e 的形式要熟记呀(3.5)
  6. 积分的导数与定义的结合(3.6)
  7. 有时候乘积的求导法则不适合一些特殊点,例如 x=0 ,这时候不要妄下定论,此时需要用定义法求极限(3.7)

1.2 考查导数定义中增量的 “广义化”

导数定义的 Δx 换成 u,u 是一个表达式,注意

  1. 定义式中三个变量要一模一样
  2. 定义式的形式要一样,通过配凑法实现(3.8)
  3. f(x) 在 x=0 处连续,有哪些技巧(3.9)
  4. 技巧流,我无 fuck 说(3.10)

2. 微分定义

  1. Δy 和 Δx 的关系(3.11)
  2. 自变量 x 的广义化(3.12)

3. 导数计算

导数计算为基本功,主要考查复合函数、分段函数、隐函数和高阶函数。至于对数求导法,只不过是一个技巧,默认你会啦。高阶函数偏难。

3.1 复合函数求导

  1. 不可导就举反例,不要说臣妾没有反例,这种流氓题最考验临场能力了(3.13)
  2. 分段函数的复合函数的求导,先求导再逐个分析(3.14)
  3. 多级复合函数计算,这对粗心的我极不友善(3.15)

3.2 分段函数求导

  1. 连续性看左右极限,可导看左右导数是否相同(3.16),这里主要不要混淆连续和可导的定义。

3.3 隐函数、反函数、参数方程求导

  1. 隐函数:带入特殊值得到 y,利用已知值求一阶导得到 y’,最后计算 y’‘(3.17)
  2. 反函数:特殊值的计算、以及积分的求导公式(3.18)
  3. 参数函数:参数表示求导(3.19)
  4. 参数函数:若有绝对值,分段处理,遇到分段就要注意断点是否可导,一般用定义式计算(3.20)

3.4 高阶函数

  1. 导几次,找规律就行,只不过是填空题和选择题,考试讲究效率(3.21、3.22、3.23)
  2. 指定阶导数求解,求通式,带入即可(3.24)
  3. 求指定点的 n 阶导,如果是求 x=0 处的点,莱布尼茨大法好(3.25)
  4. 求 x=0 处的 n阶导,还可以麦克劳林公式展开,对应系数相等(3.26、3.27)
  5. 若是 x 不为 0 的 n 阶导,泰勒公式走起(3.28)

习题

  1. 导数和连续的理解(3.1)
  2. 泰勒公式与图形的应用(3.2)
  3. 连续与可导的关系,不好意思我又错了(3.3)
  4. 可导的直接导和定义式有时候需要一起用,老子又错了(3.4)
  5. 复合抽象函数的求导,一句话,直接导(3.5)
  6. 求 n 阶导找规律,很棒我又错了,粗心(3.6)
  7. 求隐函数的 dy/dx,一般直接求导即可(3.7),或者将 y 也看成一个变量,利用偏导解决。
  8. 函数和反函数的导数之间的关系(3.8)
  9. 反函数求导公式的使用(3.9)
  10. 利用连续和导数的定义求未知数(3.10)
  11. 参数函数的 1 阶导和 2 阶导形式与计算(3.11)
  12. 配凑出导数、等价替换、根号处理的综合应用(3.12)
  13. 求导数,正常求导后还需要计算端点处的导数,端点处的导数使用极限计算,判断一个函数是否连续可以判断导数是否相等,因为可导必然连续。(3.13)