higher mathematics

1. 极值与最值

  1. 邻域内最高的点的自变量称为极大值点,因变量称为极大值(明白广义概念)
  2. 定义域内最高的点的因变量称为最大值(明白广义概念)
  3. 间断点是极值点

2. 单调性与极值的判别

2.1 单调性的判别

导数 > 0,函数单调增加;导数 < 0,函数单调递减

2.2 一阶可导点是极值点的必要条件

可导点是极值,则其导数为 0;但是极值点不一定是可导点。

2.3 判别极值的第一充分条件

在 x=x0 处连续的某领域中可导。

  1. 左导负,右导正,是极小值
  2. 左导正,右导负,是极大值
  3. 左导和右导同号,不是极值

2.4 判别极值的第二充分条件

在 x=x0 处二阶可导,若一阶导为 0,就需要用到 2 阶导了

  1. 若二导 <0,则取极大值
  2. 若二导 >0,取极小值

2.5 判别极值的第三充分条件

在 x=x0 处 n 阶可导,且前 n-1 阶都为 0,则

  1. n 为偶数且 n 导 <0,取极大值
  2. n 为偶数且 n 导 >0,取极小值

3. 凹凸性与拐点的概念

3.1 凹凸性的定义

  1. 曲线弧是凹的,说明线段的点在其之上
  2. 曲线弧是凸的,说明线段的点在其之下

3.2 拐点定义

  1. 连续曲线的凹弧与凸弧的分界点称为该曲线的拐点

4. 凹凸性与拐点的判别

4.1 判别凹凸性的充分条件

若可以二阶导

  1. 二导 >0,则图形是凸的
  2. 二导 <0,则图形是凹的

4.2 二阶可导点是拐点的必要条件

首先二导存在,其次二导为 0

4.3 判别拐点的第一充分条件

x0 的左二导和右二导异号,则 x0 是拐点

4.4 判断拐点的第二充分条件

三阶可导,且二导为 0,三导不为 0,则 x0 是拐点

4.5 判断拐点的第三充分条件

n 阶可导,且前 n-1 阶均为 0,则 n 为奇数时,x0 对应点是拐点。

5. 渐近线

5.1 水平渐近线

负极趋向一个数 y1,则 y=y1 是水平渐近线;正极趋向一个数 y2,则 y=y2 是水平渐近线;负极和正极都趋向 y0,则 y=y0 是水平渐近线。

5.2 铅直渐近线

x 趋近 x0,y 趋近无穷,则 x=x0 是铅直渐近线

5.3 斜渐近线

x 趋近边缘的时候,导数趋近一个常数 k,则 y=kx+b 是其中一条斜渐近线

6. 最值或者取值范围问题

6.1 闭区间连续函数的最值

  1. 求出区间内的可疑点(驻点与不可导点)的函数值
  2. 求端点值
  3. 比较

6.2 求开区间连续函数的最值或者取值范围

  1. 求出区间内的可疑点(驻点与不可导点)的函数值
  2. 求两端点处的单侧极限
  3. 比较

7. 作函数图形

一般步骤如下

  1. 定义域和奇偶性
  2. 特殊点与分段
  3. 渐近线
  4. 作图