higher mathematics

1. 涉及函数 f(x) 的中值定理

设 f(x) 在闭区间上连续。

  1. 有界与最值定理

    说白了就是存在最小值 m 和最大值 M

  2. 介值定理

    只要 μ 比 m 大且比 M 小,则存在 f(ξ) = μ

  3. 平均值定理

    n个区间内的函数值的和/n = f(ξ)

  4. 零点定理

    f(a) 和 f(b) 异号,则存在 f(ξ)=0

2. 涉及导数(微分)f’(x) 的中值定理

  1. 费马定理

    若 x0 处可导且是极值,则 f’(x0)=0,这不是废话吗

  2. 罗尔定理

    f(x) 满足

    • 闭区间连续
    • 开区间内可导
    • f(a)=f(b)

    则必有 f(ξ) =0

  3. 拉格朗日中值定理

    f(x) 满足 闭区间内连续,且开区间内可导,则存在 ξ,

    f(b)-f(a)=f’(ξ)(b-a)

  4. 柯西中值定理

    f(x) 和 g(x) 都满足闭区间内连续,开区间内可导,且 g’(x) 不为 0,有

    (f(b)-f(a))/(g(b)-g(a)) = f’(ξ)/g’(ξ)

  5. 泰勒公式(P96)

    • 带拉格朗日余项的 n 阶泰勒公式
    • 带配亚诺余项的 n 阶泰勒公式

    当 x0 = 0 时的泰勒公式称为麦克劳林公式,记住 7 个重要的麦克劳林展开式(P97)