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中值定理常用于大题。把它理解为上下限的限定就会觉得很容易了。

1. 闭区间的 ξ 使得命题成立

基本就是配凑成 m < 一个整体 < M,然后进行瞎凑了。

  1. 利用介值定理证明平均值定理(5.1)
  2. 利用介值定理证明积分中值定理(5.2)
  3. 一阶连续导数也复合中值定理,巧用介值定理(5.3)
  4. 默记麦克劳林公式的拉格朗日余项,麦克劳林公式的积分可以拆成单项积分求和,由于公式繁杂,很容易被忘记这个重要技巧(5.4)

2. 罗尔与费马定理

一般是证明开区间内的 ξ,使得 H(ξ,f(ξ),f’(ξ))=0。

  1. 如何构造辅助函数并验证两端点值相等(P99),大致方法如下

    对于 f’(x)+g(x)f(x)=0 这类家伙,配凑一个辅助函数 $A =e^{\int g(x)dx}$ ,这时候便可取 F(x) = f(x)·A,美滋滋。

    解决辅助函数后,就是利用罗尔定理找零点即可。

  2. 当 1 中的 f(x) 变为了 f’(x),其实这只是个符号,透过现象找本质,到后面证明 F’(x)=0;接下来找两个等值点即可利用罗尔定理干它一炮。骚男了一点(5.5)

  3. 拉格朗日中值定理用法(5.6-1、5.7、5.8=1)

  4. 罗尔定理骚断腿用法,还是辅助函数加找等值点(5.6-2)

  5. 如何找罗尔定理的辅助函数的两个等值点才是关键(5.7)

  6. 介值定理、罗尔定理的综合应用(二导一般要用到两个罗尔定理)(5.8-2)

  7. 罗尔定理证明存在二导 = 0(5.9、5.10)

  8. 费马定理虽然没罗尔这么强,但还是要记一下,可以处理导数零点等问题,例如(5.11、5.12)

3. 拉格朗日处理不同的双值

常见于存在不同的 ξ、η 在开区间内,使得某命题成立,这类问题为保证中值不同,只能是分区间使用两次中值定理,难点是分点的选取,往往使用逆推法。

  1. 利用零点存在定理证明有零点(5.13-1)
  2. 看见复杂的有导数和二导的,一般都需要构造 F(x) 抽象简化,然后找出两个子区间利用罗尔定理求解(5.13-2)
  3. 拉格朗日的反推思想(5.14、5.15-2)
  4. 挪到右边构造函数(5.15-1)

4. 拉格朗日处理双中值

这类问题不要求中值不同,故不必分区间,直接在同一区间使用拉格朗日中值定理、柯西中值定理即可。

  1. 柯西中值不等式的用法,配凑合理的 g(x)(5.16)

5. 泰勒公式证明高阶导数

展开点 x0 取已知导数信息最多的点,包含隐含导数信息的点,如极值点等;被展开点 x 取有利于结论的点。

  1. 泰勒展开的拉格朗日余项的妙用(5.17-1)
  2. 平均值定理的使用(5.17-2)
  3. 泰勒公式展开带入端点求差(5.18)

可以看出只要证明不等式的,都是中值定理搞的鬼

6. 综合题举例

  1. 区间内函数和导数在有界上的关系,拉格朗日余项在有界的边缘试探(5.19)
  2. 拉格朗日的二重奏(5.20)
  3. 凸曲线和拉格朗日中值定理的应用,(罗尔定理是证明等式 0,拉格朗日则有中间值 ξ 出现)(5.21)
  4. f(b)-f(a)=f’(ξ)(b-a) 的妙用(5.22-1)
  5. 函数的取值范围(5.22-2)
  6. 中值唯一性和单调性的关系(5.23-1)
  7. x 趋近 0,0 到 x 中间的值 ξ 也会趋近 0(5.23-2)

习题

  1. 平均值定理 + 罗尔定理(5.2)
  2. 罗尔定理简单练习(5.3)
  3. 遇到等式可巧用零点定理(5.4-1)
  4. 取名约罗尔配凑式 H(ξ,f(ξ),f’(ξ))=0 (5.4-2)
  5. 二导不等于零的罗尔意义(5.5-1)
  6. 罗尔定理的配凑,最好是特殊值为 0 (5.5-2)
  7. 遇到积分函数想到积分中值定理,配凑大法头痛(5.6)
  8. 拉格朗日中值与绝对值结合(5.7-1)
  9. 配亚诺余项(5.7-2)

通过本章的例子,我学到了一个教训,如果遇到证明题,只要有等式或者不等式关系的,都列出来,只要像个整体的,都配凑。