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利用单调性证明不等式和方程根的唯一性;利用极值和最值证明不等式;利用凹凸性证明不等式等。

1. 零点问题

几何上看,是交点;代数上看,是方程的根。

  1. 零点定理

    a 到 b 连续,且 f(a)·f(b) <0 ,至少一根。

  2. 单调性(主要用于证明根的唯一性)

    单调至多一根。

  3. 罗尔原话(罗尔定理的推论)

    n 导后至多有 k 根,则 f(x) 至多有 k+n 根

  4. 实系数奇次方程至少有一个实根(P111)

2. 微分不等式

考研重点兼难点。形式丰富、思维跨度大。

2.1 经典不等式的总结

涉及微分、积分和级数,通通给我记住,并会证明。(???改天写证明)

  1. 三个基本不等式变形
    • 2倍积 < 平方和
    • 绝对值内作加减 < 绝对值之和
    • 绝对值之差的绝对值 < 差的绝对值
  2. 算术平均 >= 几何平均
  3. 算术平均 <= 根号平方和平均
  4. 1/p + 1/q =1 的不等式
  5. (a^2 + b^2)(c^2 + d^2) >= (ac+bd)^2
  6. 乘积的积分的平方 <= 分别平方的积分之积
  7. 1/p + 1/q =1 的积分形式
  8. 其他不等式
    • 指数不等式
    • 倒数不等式
    • sinx<x<tanx(0-Π/2)
    • arttanx <= x <= arcsinx (0-1)
    • e^x>=x+1,x-1>=lnx(x>0)
    • 1/(1+x)<ln(1+1/x)<1/x(x>0)
    • 有界极限不等式
    • 单调端点为最值
    • 凹函数有二导的话,二导 >= 0
    • 函数时刻大,积分时刻大
    • 收敛于 0 的极限在某时刻开始小于 1

2.2 微分不等式的证明

利用导数或者中值定理即可。