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1. 不定积分、定积分、变限积分与反常积分

1.1 不定积分的概念与存在性

  1. 原函数与不定积分

    F’(x) =f(x),F(x) 是原函数,F(x)+C 是 f(x) 的不定积分。

  2. 原函数(不定积分)存在定理

    1. 连续函数 f(x) 必有原函数 F(x)
    2. 含有第一类间断点、无穷间断点的函数 f(x) 没有原函数 F(x),因为面积求不出啊啊啊

1.2 定积分的概念、存在与性质

  1. 定积分的概念

    如果函数是正的,其实就是求包围起来的面积,这里需要注意的是,记住定积分的精确定义(P123)

    可以理解为每次叠加一小片的面积,加很多很多片。

  2. 定积分存在定理

    也称为一元函数的(常义)可积性,区间有限,函数有界

    充分条件如下:

    1. 闭区间内连续,则定积分存在
    2. 闭区间内有界且只有有限个间断点,则定积分存在

    必要条件如下:

    1. 可积函数必有界
  3. 定积分的性质

    1. 1 的定积分就是区间长度

    2. 和差的积分 = 积分和

    3. 常数可以提到积分外

    4. f(x)<g(x) ,则积分小;特殊地有

      积分的绝对值 <= 绝对值的积分

    5. mL < 定积分 < ML ,m 是最小值,M 是最大值

    6. 中值定理,积分 = f(ξ)(b-a)

1.3 变限积分及其求导公式

  1. 变限积分

    函数已知,但是上限是自变量,称为变上限的定积分;下限同理

  2. 变限积分的性质

    1. 函数在 a~b 上可积,则变限积分在区间内连续
    2. 函数在 a~b 上连续,则变限积分在区间内可导
    3. 变限积分若存在,则必然是连续的
  3. 变限积分的求导公式

    f(φ↑(x))φ↑’(x) - f(φ↓(x))φ↓’(x)

    注意,x 是求导变量,如果出现在 积分里面,需要移出来。(P125)

1.4 反常积分的概念与敛散性

  1. 反常函数概念的通俗理解

    包括无穷区间的反常积分和无界函数的反常积分。

    很显然,无穷区间说明长度无穷,但是积分还是存在,说明 f(x) 收敛得特别快。

    但是积分收敛不一定能推出函数收敛(P125 的例子是长随高变)

  2. 无穷区间上反常积分的概念与敛散性

    1. 说白点就是原函数趋向无穷存在极限,自然就存在反常积分了。
    2. 分为趋向正无穷、负无穷
    3. 像正太分布的就是两边都收敛
  3. 无界函数的反常积分的概念与敛散性

    反常积分不是定积分,可能无界

    1. b 是奇点,但是 a~b 的积分仍然存在,则反常积分收敛
    2. a 是奇点,但是 a~b 的积分仍然存在,则反常积分收敛
    3. 若奇点在 a~b 中,先积 a~c,再积 c~b,若这两个积分都收敛,则反常积分收敛

2. 一元函数积分的计算

2.1 不定积分的积分法

  1. 凑微分法

    1. f(u)du ,这里的 u 是一个整体
    2. 思维结构如下
      1. 熟练掌握教材中的基本积分公式和常用的凑微分公式(P127)
      2. 常数配凑法
      3. 分子分母同除一个数
  2. 换元法

    1. 令 x = g(u),当被积函数不容易积分时(根式,反三角函数),可以通过换元的方法从 d 后面拿出一部分过来用。
    2. 思维结构如下
      1. 三角函数代换(P128)
      2. 恒等变形后作三角函数代换,基本公式背熟了自然会
      3. 根式代换,根号消不去时可使用
      4. 倒代换,分母幂次高时可使用
      5. 复杂函数的直接代换,前面都不想,那就霸王强上弓。
  3. 分部积分法

    ∫udv = uv- ∫vdu,若 P(x) 是多项式,选取的一般原则如下

    1. P(x) 和指数、三角函数之积的话,一般选 u=P(x),显然降幂嘛
    2. 指数和三角函数之积的话就随便
    3. P(x) 和对数、反三角函数的话,取 u=对数或反三角函数
    4. 分部积分不一定一次成功,可能多次分部(P129)
  4. 有理函数的积分

    1. ∫P(x)/Q(x)dx,其中 P(x) 和 Q(x) 是多项式
    2. 因式分解
    3. 一次因式
    4. k 重因式
    5. 二次因式
    6. k 重二次因式

2.2 定积分的计算

主要依赖于牛顿-莱布尼茨公式

积分 = F(b) - F(a)

需要结合不定积分的计算方法,有定积分的换元积分法和分部积分法

  1. 定积分的换元积分法

    换元后,下限和上限也要换

  2. 定积分的分部积分法

    上下限倒不用换,直接搬运不定积分

下面介绍一些有用的定积分结论

  1. 偶函数,积一半×2
  2. 奇函数,对称为 0
  3. 周期函数,积分也为周期性
  4. 连续函数的镜像性质
  5. sinx 的 n 阶和 cosx 的 n 阶的 0~Π/2 的积分。