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1. 一元函数积分学的概念和性质

1.1 不定积分、定积分、变限积分和反常积分的概念与存在性

这么多积分,老子容易混淆啊

  1. 证明连续函数的积分可导,利用 ΔF=f(ξ)Δx 得证,用到积分中值定理(7.1)
  2. 证明含有第一类间断点、无穷间断点的函数没有原函数(7.2),这里注意,定义上说了如果有 F(x),则 F(x) 是可导的。
  3. 有振荡点的函数也可能存在原函数(7.2注),也就是说可导函数求导后不一定是连续函数。
  4. 不要混淆原函数和不定积分,原函数表示一条可导曲线 F(x),而不定积分表示曲线下区域(7.3)
  5. 函数可积,则其变限函数连续,利用定积分的有界性和连续的定义,然后两边夹逼即可(7.4)
  6. 变限积分存在必连续,有第一类或无穷间断点则该处不可导,下限可以比上限大(7.5)

1.2 积分函数的性质

学会判断以积分形式定义的函数的奇偶性、有界性、单调性、周期性。例如变限函数

  1. 连续的奇函数的一切原函数都是偶函数,连续的偶函数的原函数仅有一个原函数是奇函数。这里可以用换元加奇偶性定义来作,但是换元的时候一定要记得换下限和上限。(7.6)
  2. 函数和原函数都是周期函数的充要条件,直接上积分定义和分段积分(7.7)
  3. 证明非负且不恒等为 0 的 f(x) 的积分 > 0,取领域即可(7.8)
  4. 二导的不等式一般使用拉格朗日中值定理(7.9)

2. 不定积分的基本计算

2.1 抽象或半抽象函数的不定积分

作抽象函数首先想想有没有类似的具体函数,没有的话再用抽象性质。

  1. 已知积分关系式,求函数,尝试对积分求导变形(7.10)
  2. 对应系数法和求导换元法(7.11)

2.2 分段函数7不定积分

  1. 去绝对值分段分别求原函数(7.12)

2.3 凑微分、换元、分部积分、有理函数积分

考研数学基本考常规计算,不涉及太强的技巧性,所以,基础打稳就差不多了。

  1. 反三角函数的积分一般利用分部积分法(7.13)
  2. 三角函数的恒等变换和凑微分法(7.14、7.16)
  3. 三角形的恒等变换、凑微分法、换元法;或者有理函数积分法(7.15),方法不同,积分形式也可能不同。
  4. 遇到反三角函数一般使用分部积分法。(7.17)
  5. 遇到根号可以考虑换元法(7.18)
  6. 利用换元法讲 x 换成三角函数,就可以消去反三角函数,然后利用凑微分法和分部积分法解题(7.19)
  7. 两次分部积分法后得出答案(7.19的解法二)
  8. 毫无头绪则以换元法上手(去根号或者三角函数的特殊格式),然后利用凑微分法、分部积分法以及有理函数等手段解题(7.20)
  9. 有理函数的积分,求未知系数时利用特殊值法速度极快(7.21、7.22)

3. 定积分的精确定义

定积分的本质是求极限,利用最标准的极限式是:从 0 积到 1,n 次 f(i/n)·1/n 求和即是积分(n 趋向 ∞)

  1. 将极限化为标准式进而化为定积分最后直接利用原函数求解,看你怎么凑了(7.23)
  2. 如果表达式有减号赶紧给我拆咯,定积分其实是很多微元的求和,而微元一般是 Δx × 其附近的 f(x) 值(7.24)
  3. 类比一元定积分,推出二重定积分的极限形式(7.25)
  4. 对二重定积分的本质运用(7.26)

4. 定积分的计算

定积分的计算需要用到不定积分的知识,而且还要考虑上下限的问题,复杂多样,必考

  1. 偶函数 + 三角换元(7.27),去根号有时候会用三角换元,需要考虑绝对值。
  2. 将根号部分化为 t (7.28)
  3. 利用奇偶性和周期性对积分区间进行收缩,因为像 tanx 这种函数是有无穷间断点的,在不合适的范围是没有原函数的(7.29)
  4. 利用奇偶性化简公式(7.30)
  5. 证明从左积到右和从右积左是一样的,利用换元法搞定(7.31)
  6. 利用 7.31 的证明过程的结论可以换元移动区间,达到区间再现的效果,特别适合用在周期函数和对称函数中,因为可以找到相同的部分(7.32,7.33、7.34、7.35)
  7. sin 高阶和 cos 高阶在 0~Π/2 的积分相同,还是利用区间再现公式搞定。结果利用多次分部积分求出,n 为奇乘 1,n 为偶乘 Π/2。被称为华里士(Wallis)公式(7.36),很重要
  8. 华里士公式的运用(7.37、7.38),记住
  9. 换元配凑后运用华里士公式(7.39),其实换元配凑是一个很考验感觉的一环。
  10. 只知道前几导的抽象函数利用分部积分法(7.40、7.41)
  11. 分段函数的积分注意上下限(7.42)
  12. 连续周期偶函数为 f(x),x·f(x) 的特殊性质 (7.43)

5. 变限积分

变限积分就是一种函数,因此考题也及其丰富,望君注意。

  1. 周期函数的积分值(7.44)
  2. 求导变量出现在被积函数时需要换元移出被积函数。(7.45)
  3. 已知隐函数求特殊值(7.46)
  4. 分段函数的变现积分(7.47)
  5. 变限函数的上下限的理解,变限函数的上下限是 t 的范围,而不是 x 的范围,在求导或者积分的时候,x 应该看成一个常量(4.48-1)
  6. 变限函数的导数和极值的关系(4.48-2)
  7. 已知积分求被积函数(4.48-3),这里需要一些常微分的知识。

6. 反常微分的计算与收敛性判别

6.1 计算

讲两点。第一,反常积分是变限积分的极限,出现无穷区间或者瑕点,直接带入(做极限计算),不必考虑收敛性。

第二,如何分别反常积分,只要一看积分限有 ∞,便知这是无穷区间上的反常积分,所以此类反常积分是容易识别的。

无界函数的反常积分较难识别,一般看分母为零的点,但是还是要判别,例如 lnx 等等。所以两方面,看积分限和分母,最后!!!不少考题故意讲奇点埋伏在区间内部。

  1. 埋伏在积分限就拆积分限(7.49)
  2. 区间无穷直接积分(7.50、7.51、7.52、7.53)
  3. 分部积分产生递推式(7.54),欧拉给哥德巴赫的一封信

6.2 敛散性的判别

反常积分的敛散性难度较大,针对此类问题,我们需要掌握两个重要结论,并能够熟练地进行无穷小,无穷大比阶

  1. 无穷区间的反常积分 x^p,p>1 收敛,p <= 1发散
  2. 无界函数的反常积分 x^p, p<1 收敛,p>= 1 发散

例题如下

  1. 无穷区间的反常积分,运用等价无穷小替代(7.55)
  2. 高阶无穷大比值处理(7.56)
  3. 直接通过计算判断收敛性(7.57)
  4. 等价无穷小比较(7.58)

总结一下,稍微遇到难一点的题目都是因为高级工具不能用了,只能用低级工具,所以掌握好定义和极限的比阶是很重要的。


习题

  1. 直接积分得出收敛性(7.3)
  2. arcsin 的不定积分计算并运用(7.4)
  3. 分部积分法的运用,注意原函数!!的概念(7.5)
  4. 定积分是一个常数,这是本质,所以可以直接设为 C(7.6)
  5. 换元法的运用(7.7),不定积分后一定要加常数 C !!!
  6. 换元、分部积分、分离常数(7.8)
  7. 三角函数配凑计算(7.9)
  8. 1/sin^2 的原函数是 -cot (7.10)
  9. 整体换元法,他妈都换脸了(7.11)
  10. tan 对应 cot,cos 对应 sec,sin 对应 csc (7.11)
  11. 凑不了微分就用分部积分法(7.12)
  12. 带常数的式子求积分前先讨论特殊情况(7.13)
  13. 定积分的极限定义的运用,当遇到积分限很奇怪的时候,则需要放缩处理然后夹逼定理(7.14)
  14. 对数处理后得到的结果不是最终结果!!!(7.15)
  15. 上下限交换变符号,式子中出现重复部分想到换元,一般取值 -1 到 1 的换成三角函数(7.16),去平方的时候考虑绝对值,去绝对值考虑定义域
  16. 指数函数×三角函数,使用分部积分法,积分过程中可能会出现相互抵消的情况,所以不要急着计算(7.17)
  17. 既有幂函数,又有三角函数的定积分难求。记住,任何定积分求解之前先看奇偶性和对称性,利用换元法讲函数平移到对称轴上处理(7.18)
  18. 解定积分前先看奇偶性和周期性(7.19)
  19. 重要极限的化简,te^t 的性质(7.20)
  20. 分段函数分别求解即可,巧用平方差公式可以讲分母中的和差提到分子中来,然后利用和积变积和化简(7.21)