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假设曲线都是连续的

1. 用定积分表达和计算平面图形的面积

  1. 直角坐标系下

    f(x) 与 x 轴围成的面积

    dS=f(x)dx ,微元是长方形面积

  2. 极坐标系下

    r(θ) 以及 θ=α 和 θ=β 形成的扇形的面积。

    dS=1/2·r(θ)r(θ)dθ,微元是扇形面积=1/2·半径×弧度=1/2·半径的平方×角度

2. 用定积分表达和计算旋转体的体积

  1. 曲边梯形旋转的圆台体(绕 x 轴)

    dS= Π·[f(x)]^2dx ,微元横放的圆柱,高只有 dx

  2. 一个旋转体里面挖去一个旋转体(绕 x 轴)

    分别求然后相减

  3. 绕 y 轴旋转的旋转体

    dS= f(x)·Π·x^2dx,微元是中空的圆柱,壁只有 dx 厚,底面积其实是个圆环,近似为长方形求解,用圆周长×厚度

  4. 绕 y 轴旋转的旋转体里面再挖去一个旋转体

    分别求然后相减。

3. 用定积分表达和计算函数的平均值

积分面积/(b-a)