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本部分内容大题(10分),小题(4分)都常考,熟记基本公式,加强训练即可。

  1. 无界面积相当于无界的反常积分(8.1)

  2. 双扭线 ρ^2=cos2θ 所围成的区域面积的定积分表示(8.2),这里需要掌握直角坐标方程和极坐标方程的转化,极坐标适用于旋转变化,直角坐标适用于平移变化。(保证原点重合)

    直角化极坐标:x=ρcosθ,y=ρsinθ

    极坐标化直角坐标:ρ^2=x^2+y^2,tanθ=x/y

    极坐标的微元是小扇形 dS=ρ·dθ(单位圆面积为 1·2Π,1就是ρ,2Π是全角)

  3. 学会逐字翻译恶心的题目(8.3)

  4. 绕 y 轴旋转的旋转体的体积(8.4)。利用定积分计算体积的时候,微元是小圆环×高 dV = 2Πx|y|dx,这里的小圆环计算近似为细细的长方体。

  5. 绕 x 轴旋转的旋转体的体积求法(8.5),微元是圆的面积×微元 dV=Π[f(x)]^2 dx。

  6. 遇到有无穷段区间求体积的,一般先求不定积分,然后求和求极限(8.6)

  7. 函数和其切线包围的面积(8.7-1)

  8. 绕 x=1 旋转的旋转体面积(8.8-2),此时应该将 dy 作为微元,则有 dV=Π[圆环面积]dy

  9. 利用积分求平均数(???8.8),这里超纲地使用了二元积分,以后回来再看。


习题

  1. 已知两曲线求公共切线,并求面积(8.1)
  2. 找准多条曲线围成的图形很重要,特别是交叉型的,反直观(8.2-1)
  3. 计算绕 y 轴旋转的旋转体体积(8.2-2),圆环×高,dV=2Πxf(x)dx
  4. 计算不定型二次函数记得带参数 a。(8.3-1)计算绕 x 轴旋转的旋转体体积(8.3-2),圆面积×微元,dV=Π[f(x)]^2dx
  5. 绕 x 轴旋转的旋转体体积,dV=Π[f(x)]^2dx(8.4),xe^-x 的 +∞ 极限为 0(洛必达)
  6. 绕 x 的微元是 dV=Π[f(x)]^2dx,绕 y 轴的微元是 dV= f(x)·2Πxdx,综合运用(8.5)
  7. 带常数的求积分一般需要分类讨论,做题切记不要先入为主(8.6)
  8. 求体积一般要画图,画图注意,定义域、包围区域(8.7),积分的上下限未知的话直接设变量,积分后自然有关系式。