higher mathematics

夜深人静又失眠的情况下,我尝试用冥想构建的方法消耗时间,也抵制了玩电子产品的冲动。本篇是我构建高数大厦遇到的一些问题,在探索问题源头的过程中,渐渐地理解了高数的奥义。

高数的基石是极限。为了容易理解,我们从数列入手,随着 n 的增大,数列逼近一个常数,我们称之为收敛。数列是离散的,而在人类的感官世界中,万物的变化更多是连续的,因此,我们将极限延伸到实数函数中。

函数是一种对应关系,如果把自变量看作是时间,那么因变量就是事件在时间上的变化。为了容易理解,我们将自变量和因变量都作为实数看待,如果函数在二维平面上是一条连绵不断的线,我们称这个函数是连续的,用极限的话来说,任意一个 x 的邻域在趋近 x 的同时,邻域的因变量也会趋近 y,取极限的话,就是 y=f(x) 。

如果把时间看做自变量,那么时间有两极,很久很久以前和很久很久以后,相对应实数,那就是 -∞ 和 +∞ 了。如果函数趋向无穷的时候逼近一个常数,我们会说这个函数在无穷处是收敛的,但是我无法预知关于时间的函数,世界的尽头是否收敛,如果可以预知,那我应该是上帝了。

收敛的对立面是发散,连续的对立面是间断。发散的直观例子是趋向无穷,还有一些发散震荡函数。灵光一现称为可去间断点,质变称为跳跃间断点,无穷间断点也许存在于天堂,而震荡间断点则应该属于神经质了。

一个预言家不止需要数据(自变量),还需要对数据的处理能力(函数)。狭义下的函数,是对数据的一步处理。接下来我们需要对数据进一步处理。如果说函数是描述每一个时间点的状态,那么状态的变化快慢该如果描述呢?这时候,我们引入了变化率(导数)的概念。一年内博览五车,这是形容一年的成果,几何上我们用斜率表示,也称平均变化率。如果我们精确到一个月,设置一天的学习速率呢?时间段趋近于零的时候,平均变化率渐渐逼近瞬时变化率,这里有个逼近的过程,这时候我们需要用到极限来定义瞬时变化率了。如果在逼近的过程中,瞬时变化率也逼近一个常数,我们称这个函数存在导数,否则不存在(这也是为什么我说无穷间断点只存在于天堂)。

导数的定义丰富了数据的信息量,导数是自变量和瞬时变化率的对应关系,因此导数也是一个函数。我们可以发现,给我们原材料(自变量)和关系式(自然法则),我们基于这些东西演化出很多新东西。为了容易讲解,我们继续称瞬间变化率为导数,称原始对应关系为函数。函数称为状态,导数称为状态的变化,那么导数自然可以描述状态的变化快慢和变化方向(正负),速度的方向转折点称为极值点。

即然导数也是一个函数,那么导数同样可以继续求导呀(求瞬时变化率)。这称为数学的推广能力,也可以称之为维度的上升。数学和物理界总是相辅相生的,”物理的尽头是数学,数学的尽头是哲学“ 这句话不对,应该是物理提供了样本,数学提供了关系,哲学提供了想象力。从物理角度入手,导数的导数有什么物理意义?即然导数是变化率,那么导数的导数就是变化率的变化率呀,也可以描述为变化率的变化快慢,通俗理解是速度的变化快慢。有了物理的支持,导数的导数(以后称为二导)必然也是高数的重点,对二导的研究基于一导进行递推就行。在二维图形中,二导表示的是斜率的变化快慢,通过曲线的上凸下凹可以看出,凸和凹的转折点称为拐点。

某个时刻的状态中内容的丰富程度该如何表示(二维图形的面积)?人类的数学体系是建立在十进制数字之上的,当标准建立后,我们总是会对一些简单的自然现象进行归纳总结,例如长方形的面积计算,这很直观,因此很容易理解。但是世界万物大都不是规则的,大自然总是给真相盖上一层纱,需要我们用归纳总结的规律去揭开它。对于不规则的图形,我们可以切分称多个类似长方形进行计算求和,很显然,切得越细误差越小,到底要多细,无穷细!你看,这又要用到极限的定义,所以求面积,也是一个求极限的过程,微积分,顾名思义,先微元,再求和嘛。所以现在我们求面积或者体积,只要你能给出关系式,我基本能给你求出 ”不规则“ 图形的面积,不规则是表面,规则是 “关系” 。