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1. 多元函数微分学的基本概念

1.1 平面点集的基本概念

平面上的点可用 (x, y) 表示。这些点的集合称为 平面上的点集

  1. 两点之间的距离用勾股定理

  2. 邻域是半径为 δ 的圆。

  3. 根据邻域分为内点、外点和边界点

    M 的周围还是点集内,称 M 为内点

    M 的周围有一部分在内,一部分在外,称 M 为边界点

    M 的周围都不在点集内,称 M 为外点

  4. 有界集 可被一个圆包围,否则是 无界集

    若 E 中每个点都是内点,则为开集;若边界点是 E 的点,称为闭集。

    若任意两点相通,称为连通集,连通的开集称为开区域,开区间加边界点称为闭区域,开区域和闭区域统称区域。

    如果 E 内任一条简单闭曲线包围区域在 E 内,称 E 为单连通区域(圆),否则为多连通区域(圆环)

  5. 聚点 周围还有点,孤立点 就只有自己了。

1.2 极限的存在性

二元函数的极限有两种定义,一是数学分析中从点集角度出发的定义,二是高等数学从邻域出发的定义。

  1. 第一种定义

    M0 的邻域越小,f(x,y) 越逼近 A,称 A 为逼近 M0 的极限。

  2. 第二种定义

    不同方式逼近 M0,极限都趋于 A ,则 A 为逼近 M0 的极限,一般从 x 方向或 y 方向逼近。

1.3 连续性

逼近 M0 的极限 = f(M0),则在 M0 处连续。

1.4 偏导数

偏 x 方向的导数就向 x 求导,偏 y 同理。

对 x 进行二导称为 二阶偏导数,对 y 同理。

一会偏 x,一会偏 y 称为二阶混合偏导数。

二阶以上的称为高阶偏导数。

1.5 可微

全微分定义:

Δz = AΔx + BΔy + o(ρ)

这里 A、B 是与 x、y 有关的常量,ρ 是 Δx 和 Δy 的勾股长度。

判断是否可微,步骤如下

  1. Δz=f(x0+Δx, y0+Δy) - f(x0, y0)
  2. 写出线性增量 AΔx + BΔy,其中 A=M0 处的偏x导,B 为 M0 处的偏y导
  3. (全增量-线性增量)/ρ,ρ 趋于 0

若极限为 0,可微,否则不可微。

微分的含义是用 “简单的量” 代替了 “复杂的量”,产生的误差又可以忽略不记,这就是可微的含义

1.6 偏导数的连续性

特殊点(分段函数的分段点)处偏导数是否连续,是考研的重点。步骤如下

  1. 用定义法求 M0处的偏x导和偏y导分别为 A 和 B
  2. 用公式法求 M0 两侧的偏x导和偏y导,然后逼近 M0 求极限得到偏x导为C,偏y导为D,
  3. A=C 且 B = D

则偏导数连续

2. 多元函数微分法则

2.1 链式求导规则

多元函数的微分法是重点,但不是难点,年轻人重在思考(P187)

  1. 复合函数的中间变量均为一元函数

    分别偏导求和

  2. 中间变量为多元函数

    分别对每一个变元进行偏导

  3. 既有一元函数又有多元函数

    多元函数进行偏导,一元函数直接导

2.2 隐函数存在定理

狭义的函数都是单值函数,每个 x 有确定的 y。若 y 有多个,称为多值函数。考研中提到的函数都是单值函数。

显函数是 y=f(x) 的形式;隐函数是 F(x,y)=0 的形式。

  1. 隐函数存在定理 1

    隐函数其实是一个二元函数 F(x, y)=0,我们关注的是它的邻域,数学总是喜欢在微观上研究规律然后进行推广。

    若点 P 在隐函数中,且 P 的邻域内具有连续偏导数,F(P)=0,P 点出偏 y 导不为 0,则方程 F(x, y)=0 在 P 的邻域内确定一个连续且具有连续导数的函数 y=f(x) 。 且 dy/dx = 偏x导/偏y导

    dy/dx 的推导利用链式求导规则。

    可以推广到多元函数。

  2. 隐函数存在定理2

    F(x,y,z)=0 在点 P 的邻域内具有连续偏导数,且 F(P)=0,偏z导不为 0(也就是偏导都存在且连续),则在 P 的某一邻域内能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数 z=f(x,y) ,且

    偏z/偏x = -F偏x/F偏z;偏z/偏y=-F偏y/F偏z

    注例 (P189) 中有一个三元函数,这里千万不要默认 x 和 y 是自变量(先入为主的思想太可怕了),判断一个点的邻域是否存在单值函数并判断有几个。

3. 多元函数的极值与最值问题的争论

考试重点,大题出没。

3.1 极值与最值的概念

  1. 广义的极大值点(或极小值点)

    P 在自身邻域内最大或最小

  2. 真正的极大值点(或极小值点)

    P 比自身的去心邻域任一点的函数值都大。

  3. 广义的最大值

    定义域内最大。

  4. 真正的最大值

    定义域内咱最大,且没有和我一样大的。

3.2 多元函数极值与最值问题的理论依据

  1. 二元函数取极值的必要条件

    一阶偏导存在,取极值 → 偏x导和偏y导都是 0

  2. 二元函数取极值的充分条件

    偏2x导 为A,偏xy导为B,偏2y导为C,Δ=B^2-AC

    Δ<0 :A<0为极大值,A>0 为极小值

    Δ>0:非极值

    Δ=0:失效哦啊,洗洗睡找其他方法

    一般用必要条件找可疑点,用充分条件判别可疑点。

  3. 条件极值与拉格朗日乘数法

    目标函数f(x,y,z) + 条件函数 φ(x,y,z) 和ψ(x,y,z)

    1. 构造函数 F(x,y,z,λ,μ)=f+λφ+μψ,这个函数称为拉格朗日乘法函数
    2. 对每一个变量偏导,共五个。
    3. 解方程找到备选点
    4. 根据实际问题,必存在最值,所得即所求。

3.3 多元函数极值与最值的考题分类

  1. 无条件极值(显函数或隐函数)+ Δ 判别法
  2. 闭区域边界上的最值
  3. 闭区域上的最值

3.4 求某区域的最值步骤

  1. 求所有可疑点处的函数值(必要条件)
  2. 边界上的最值
  3. 比较得到的函数值,找出最大和最小

实际问题中,如果判断出最大值(最小值)一定在内部,且只有一个驻点,真相只有一个。bingo