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本章是前 8 讲的综合应用与深化。

一元函数积分学的综合题涉及积分的计算、积分中值定理、积分方程的根和积分不等式等。形式很丰富,主要分为两类:等式问题和不等式问题。

1. 等式问题

  1. 积分限的分割与变形(9.1-1),将抽象函数的性质具体运用到实际函数(9.1-2)
  2. 推广的积分介值定理的运用(9.2),构造变限函数,然后用柯西中值定理证明。
  3. 积分号和极限号一般情况不能交换顺序,如果不容易积分,利用夹逼定理或者推广的积分介值定理(9.3)
  4. 利用递归来配凑的高级技能+夹逼定理(9.4),这对三角函数和抽象函数比较常用,对我来说,三角函数就挺抽象的。
  5. 函数的大小关系到积分的保号性(9.5-1),利用函数的大小关系进行爱情转移,然后夹逼定理(9.5-2)
  6. 具有导数关系的不等式找罗尔和拉格朗日解决(9.6),等于 0 找罗尔,不等于 0 找拉格朗日。

2. 不等式问题

2.1 利用函数的单调性

通常的做法:积分限变量化(变限积分),然后移项构造辅助函数,利用单调性证明不等式,常见于条件为 “f(x) 在 a~b上连续” 的情形。变限积分的导数就是被积函数(自行想象)

  1. 利用单调性之前需要找到合适的函数,包括可导(9.7)

2.2 利用拉格朗日中值定理

多用于条件为 “f(x)一阶可导” 且某端点值较为简单(甚至为 0)的题目。

  1. 很多证明题从表面上是看不出答案的,最好的方法从结论开始配凑成拉格朗日的样子(9.8)

2.3 利用泰勒公式

  1. 泰勒公式的拉格朗日余项展开式的积分(9.9)

2.4 先进行化简,再证明

世间万物不是都那么直白的,想要了解复杂的事物,先去化简它再研究。

  1. 换元法化简(9.10)

2.5 综合题举例

  1. 放缩法化简被积函数(9.11-1)
  2. 将上限变量化,变成变限函数进行计算(9.11-2)
  3. 将指数函数对数化,这样就可以拆成极限形式了(9.12),单调增加说明后一项比前一项大。
  4. 利用单调增加得到 f(k) <= k~k+1的积分 <= f(k+1),然后得到单调有界数列必有极限(9.13)
  5. 当未知常数有范围时,拆积分,将未知常数作为积分限,得到意想不到的效果(9.14方法一)
  6. 要是证明成立,对不等式的一部分作为一个函数进行分析得到结论(9.14方法三)

习题

  1. 证明看上去不用证明的公式,也就是积分的周期(9.1-1)
  2. 对变限函数求值域(9.1-2)
  3. 证明周期函数的性质一般是分割积分限,换元,化简。就是这么朴实而无趣(9.2-1)
  4. 要记住,定积分只是一个极限(常数),所以为了不让题目混淆,先把定积分换元为 A 吧(9.2-2)
  5. 对证明中存在某个数,那就设这个数为自变量(9.3),上限和下限相等,那么定积分为 0 ,这时候就可以利用罗尔定理了。
  6. 证明不等式一般都是构造函数,但是构造之后,在对积分进行处理的时候,变限函数的上下限一律看出常数,不要因为是 x 而被潜意识搞混(9.4)
  7. 我看透了,与其折磨自己,不如将整体看作变限积分函数,所求的常数就是 变限积分的变量(9.5)
  8. 证明不等式乘积的积分的平方 <= 平方的积分的乘积,还是构造函数利用单调性解决(9.6)
  9. 不等式如果构造函数失效,这时候就要涉及积分概念、积分性质和积分计算了。(9.7),我还是推荐从结果到题目
    1. 不等式转化为最值问题(9.8),一般是看大于某个常数或无关变量