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1. 基本概念

  1. 当 f(x,y) 中只有 x 和 y 在变,那么把另一个当成常数即可,不就是普通的一元函数解法吗(10.1),求极限还是需要用到等价无穷小等知识。
  2. 方向上的单调性需要找方向的交叉点(10.2)
  3. 判断分段点点连续用极限定义法;判断分段点导数存在用极限定义法;判断导数连续用分别求偏导并对质;判断可微用可微三部曲(10.3)
  4. 求混合偏导,一般情况二偏导不相等,除非连续(10.4)求二偏导得一步一步来,可以用极限法,也可以用公式法
  5. 偏导的实际意义与运用,全微分的化简(当然也要偏导的参与)(10.5)很显然偏导是在某个方向上的改变速率。如果是自变量是物质的化,那就是状态的改变速率。

2. 多元函数微分法则

2.1 复合函数求偏导问题

  1. 中间变量是二元函数的二元偏导计算(10.6)注意第二导的时候,中间变量再次求导。
  2. 复合函数花式求导(10.7),中规中矩用链式法则
  3. 当对 x 求偏导的时候,把 y 当常数即可,特别在复合型求导中 u=φ(x,y) ,偏u/偏x 的时候,其他因素都可以扔掉,当顺着不会做时,逆着做(10.8)

2.2 隐函数求偏导问题

  1. 求 dz/dx 之类的方法,直接偏导消去(10.9)

  2. 二维可微存在导数,三维可微存在偏导数,题目有说说明需要求导了(10.10)

  3. 链式求导例题(10.11)

  4. 全微分 dz=Adx+Bdy=0(10.12),连续函数的全微分本来就趋于 0

    当然全微分的基础是偏导,所以一般用偏导也可以解决。

2.3 逆问题

积分过程中,需要注意常数项是相对的,对于 y 的积分来说,带 x 的关系式才是常数(10.13)

2.4 综合题

  1. 重要公式和导数的极限定义的配凑,以及各种导数之间的错综关系的配凑(10.14),主要自变量有 x 和 y,不同的偏导下,x 和 y 都可能被当成常数处理。

3. 多元函数的极值与最值

3.1 无条件极值(隐函数)

  1. 必要条件找可疑点,充分条件(z 的三种二导)判别可疑点(10.15),极小值可能 > 极大值

3.2 无条件极值(显函数)

  1. 必要条件找可疑点,充分条件判别可疑点,若 Δ=0,需要用定义法或者找出反例(10.16)

3.3 闭区域边界上的最值

  1. 题目说求最大值和最小值,而我们也只找到两个驻点,那么所得即所求(10.17)

3.4 闭区域上的最值

  1. 限定区域内找最值,首先将区域内的可疑点找出来,求值比较得到最值,但还不是最终结果,需要考虑边界上的条件极值,将条件公式带入原方程求极值即可,最后所有点的值进行比较然后挑选。(10.18)

3.5 应用问题

  1. 证明 (x^n+y^n)/2 >= ((x+y)/2)^n

    令 x+y=a ,证明 (x^n+y^n)/2 的最小值是 (a/2)^n

6. 综合题

  1. 求条件约束的最大值和最小值,利用拉格朗日乘法函数找出所有可疑点,比较大小即可。

    也可以将约束条件当成消去元来用。

    线性方程还可以利用行列式为 0 求解。


习题

  1. 隐函数存在定理 1 的理解与应用(10.1),得到 y=f(x) 具有连续导数后,二导 > 0 说明一元函数存在极小值(二导极限定义的时候有 f’(x)-f’(x0) 这部分)

  2. 某个点 上的二元函数连续的判别,以及偏导数的判别(10.2)

  3. **某个点 ** 上的二元函数的偏导数的判别,以及可微的判别(10.3),很显然,二元函数中偏导存在不一定可微。

    可微的极限一定为零,一般找出反例就可以了。

  4. 复合函数的构造以及链式偏导(10.4)

  5. 某个点 上的可导性(逼近某个坐标,例如(0,0) 那么就是 f(x,0)-f(0,0)),可微性建立在可导性(可导不一定可微,要用可微定义 Δf-AΔx-BΔy)。如果偏导存在但不可微,则偏导必不连续。

  6. 全微分公式隐藏了两个偏导信息,望君珍惜(10.6)

  7. 带中间变量的二元函数的二导计算(10.7),各部分请注意,f1’的导数是 f11’‘+f12’’

  8. 抽象函数,中间变量函数已知,链式求导。偏导老子会了,偏二导注意安全(10.8),偏导直接用全微分最快。

  9. 给一个隐函数公式 F(x,y,z),求 dz 最快的方法是全微分(dz 本来就是微分),其次使用偏导数法(注意偏x导的时候y是常量,反过来同理),最后是公式法(三个都是自变量)。

  10. 当中间变量的其他变量和 x 有关系的时候,就不能将其作为一个常量处理了,毕竟 x 变其他变量也变(10.10)。

  11. 二元复合函数果断求偏导,f(u),u=x+y 之类的,直接求 偏f/偏x 和 偏f/偏y 即可。比较难的还是偏2导。如果中间变量只有 1 个,那么没有加法,如果有多个,分别偏导相加。(10.11-1)

  12. 当导数和函数结合在一起,解方程这种事就需要常微分方程知识了。(10.11-2)

  13. 闭区域的最值问题,分两步走,判断连续并找内部的驻点;接着利用拉格朗日乘法函数找边界驻点,计算判断即可(10.13、10.15)

  14. 熟悉拉格朗日乘法函数计算法:构造函数、求极值点,计算比较(10.14)