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1. 二重积分的概念、性质与对称性

微元 × 高 然后对微元积分。

1.1 二重积分的几何被积

几何背景是用来求曲顶主体的体积。无非就是 “分割、近似、求和、取极限” 。

基本思想是底面积微元(二维领域)× 高(二元函数)得到小竖条的体积,近似(微分),求和(积分),取极限(积分)。知识本来就是用来服务世界的,几何就是世界的一部分,必考。

1.2 二重积分的存在性

判断二重积分可不可积。这里不加证明,类比一重积分

  1. 平面有界闭区域由一条或者几条光滑闭曲线围成(定义了底面积形状),f(x,y) 连续(定义了高的性质),则可积。
  2. 有界闭区间由一条或几条逐段光滑曲线所包围,若 f(x, y) 有界,且除了有限个点和有限光滑曲线外都是连续的,则它在 D 上可积

1.3 二重积分的精确定义

可以类比一元函数积分的精确定义,很显然是 高×底面积 的小竖条相加求极限。

1.4 二重积分的性质

  1. f(x,y)=1 则是求区域面积
  2. 可积函数必有界
  3. 积分的线性性质
  4. 积分的积分限可拆
  5. 积分的保号性,特别有积分的绝对值 < 绝对值的积分 (注例1)
  6. 二重积分的估值定理,mA < 积分 < MA
  7. 二重积分的中值定理若 f(x,y) 在 D 上连续,存在点 (ξ, η) 使得:积分=f(ξ, η)A(注例2)

1.5 对称性

对称性本质上是概念,而不是计算

底面积×高的曲顶柱体,很可能就有普通有对称性或轮换对称性。

  1. 普通对称性

    f(x,y)=f(-x,y) ,只算一边然后×2 (注例3)

    f(x,y)=-f(-x,y) ,结果为 0 (注例4)

  2. 轮换对称性(考研重点)

    在二重积分中,x、y 只是字母,而积分值与用什么字母表示是无关的,可以将所有 x 换成 y 并 将所有 y 换成 x ,这个方法在抽象函数中很有用,因为对调后可以是柱体旋转了,相加之后就变成规则了(注例 5)

2. 二重积分的计算

2.1 直角坐标系下的计算法

分两种,分别是竖切和横切。

  1. 竖切,也称 X 型区域

    竖着切才有很多曲顶柱体。

  2. 横切,也称 Y 型区域

    x 取值和 y 的取值有关,而 y 很整齐

这里的下限都必须 <= 上限,这里的微元都是小竖条

2.2 极坐标系下的计算法

根据极点位置不同分三种情况

  1. 极点在区域外部

  2. 极点在区域边界

  3. 极点在区域内部

可以发现都是先积 r 再积 θ ,所以一般不讨论次序。这里的面积微元是 rdrdθ,是小扇形,高还是一样不变。

2.3 极坐标与直角坐标系选择的一般原则

给一个二重积分

  1. 看被积函数是否为 f(x^2=y^2),f(x/y),f(y/x) 等形式
  2. 再看积分区域是否为圆或者圆的一部分,如果两者兼具,优先选择极坐标系,否则考虑直角坐标系

这只是一定印象,命中率不是 100% 。

2.4 极坐标与直角坐标系的相互转化

  1. x=rcosθ,y=rsinθ
  2. 画好区域 D,确定上下限

2.5 出题角度

  1. 坐标系

    直角坐标(11.1、11.2)

    极坐标(11.3)

    相互转化(11.4、11.5)

  2. 积分次序

    直角坐标系下交换积分次序(11.6~11.10)

    极坐标下交换积分次序(11.11)

  3. 涉及二重积分概念的计算(11.12)

  4. 综合题(11.13~11.25)