higher mathematics

特定抽出来,是因为可微、可导以及可积分是高等数学的重要概念,可以说掌握了这三个概念,高等数学掌握了一大半。

1. 导数

二维情况下是切线,表示曲线的变化速率。三维情况下是平面,表示在两个方向的变化速率。

二维情况 [f(x+Δx)-f(x)]/Δx,Δx 取极限即可。

三维情况 [f(x+Δρ)-f(x)]/Δρ,Δρ 是领域点到所求点的距离。

2. 微分

积分的前提是取微元,微元越小,误差越小,才能保证积分收敛。

二维情况下 Δy=AΔx+o(Δx) ,这里的 Δy 是实际的增量,而我们用切线的线性增量来表示,A=f’(x0) ,这样就简化了很多,可以看到可微的定义就已经用了导数了,因此,二维可微必然可导。这里的微元 dy=AΔx 。

三维情况下是 Δz=AΔx+BΔy+o(Δρ) ,由于高阶无穷小,求积分的时候可用切面方程的线性量来表示实际增量。显然,三维可微必然存在两个方向的偏导。这里的微元 dz=AΔx+BΔy ,称为全微分。

3. 积分

二维情况下积分可用面积理解(但是也可求旋转体体积),三维情况下积分可用体积理解。

若存在原函数,那么原函数必然任意点可导(不然就不叫原函数了),连续函数 f(x) 必有原函数(利用定义证明),第一类间断点和无穷间断点没有原函数(不满足 任意一点都可导 ),可用定义反证法证明这两个存在定理。

定积分是有界的,反常积分不属于定积分,定积分可积不一定有原函数,其实原函数的出现是为了让某些积分可以直接套用 牛顿-莱布尼茨公式

总结

显然,可微必有导数(二维)或偏导数(三维)。

连续函数可积,必有原函数,原函数处处可导,可导说明原函数处处连续。

导数判断单调性和极值,二导判断凹凸性和拐点,三维空间的极值需要二导判别。

涉及导数的不等式首先构造函数考虑单调性,实在不行找罗尔和拉格朗日。

导数连续极限微分等关系

难点

  1. 偏导存在并连续则必可微。

    Δz=f(x+Δx, y+Δy)-f(x,y)=f(x+Δx, y+Δy)-f(x,y+Δy)+f(x,y+Δy)-f(x,y)

    然后拉格朗日中值定理得到 Δz=(f1’+α)Δx+(f2’+β)Δx,由于连续,α 和 β都趋于0 ,得证