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1. 坐标系

1.1 直角坐标系下的计算

  1. 积分的线性法则可以拆分被积函数,然后分别判断奇偶性和对称性简化题目,最后再求积分(11.1)
  2. 结合几何图形求积分,一般情况都是研究上下限的取值(11.2)

1.2 极坐标系下的计算

  1. x=rcosθ,y=rsinθ,其中面积微元从长方形 dxdy 转为扇形 rdrdθ,然后先后次序积分即可(11.3)

    对于椭圆形的积分,还可以利用轮换对称性解题。

1.3 坐标系的转化与计算

二重积分的考研题考你两点:坐标系转换后,然后积分。真是煞费苦心。

  1. 极坐标转直角坐标然后积分,你这样想,积不出来就是没有坐标转换,一定要结合图形积分。积分区域不是圆,而且 f(x,y) 没有 x^2+y^2 的形式,还想什么(11.4)
  2. 直角坐标转化为极坐标,然后求积分(11.5),这里要注意,积分上限 >= 积分下限。

2. 积分次序

2.1 直角坐标系下交换积分次序

  1. 原函数如果不能用初等函数表示的话,就交换积分次序(11.6)

    交换积分次序主要看积分区域的形状,所以一般是看上下限画图,然后基于图进行交换次序。

  2. 先积 x 再积 y 的区域还原(11.7)

  3. 涉及三角函数型的积分,注意积分次序(11.8)

  4. 若某个积分上限 < 积分下限,交换上下限的时候记得变号(11.9)

  5. 累次积分的上下限无要求,这时候需要自己判断,分别找出面积正的和负的,负的积分求出来之后带负号相加(11.10)

2.2 极坐标系下交换积分次序

  1. 先积 r 再积 θ 的几何意义是求出所有角度为 dθ 的扇形然后求和,这里的关键点在于积 r 的时候下限和上限可以用 θ 表示。

    先积 θ 再积 r 的几何意义是求出所有半径为 dr 的扇形然后求和,这里的关键点在于积 θ 的时候下限和上限可以用 r 表示。

    极坐标例子图片

    极坐标转换

3. 涉及二重积分概念的计算

  1. 定积分是一个常数,自然二重积分也是一个数,这既是概念,也是解题的关键,将积分值作为 A 替换即可。(11.12)

4. 综合题

涉及平面区域的划分、交换积分次序、换元法等。

  1. syn 函数与积分的正负的关系(11.13)

  2. 遇到绝对值导致积分正负性未知,利用临界线划分多个区域逐个分析即可(11.14、11.15)

  3. 遇到取整求极限的一般都是利用夹逼定理解决(11.16)

  4. 二重积分的变限积分的洛必达应用(其实除了 t ,其他全部看做常数,那么和变限积分的求导一模一样的)(11.17)

    二重积分的变限函数的计算还可以使用二重积分的中值定理。(11.17 方法二)

  5. 积分不等式的求解大都依赖于构造函数的求导(11.18),如果积分不等式里存在抽象函数,可以考虑使用轮换对称性

  6. 变限函数的积分就是二重积分(11.19),这里还是考二重积分的化简与运算,技巧终究不是规律,我选方法二。

  7. 二重变限积分的二重导计算(11.20),变限积分可以推广到 n 重积分(注)

  8. 一重积分相乘可以转化为二重积分,然后利用轮转对称性、中值定理、洛必达等技巧解题(11.21)

  9. e^(-x^2) 在 0~+∞ 上的积分。概率论常用,必记,利用一重积分相乘化二重积分然后利用极坐标解决。(11.22)

  10. 去二重变限积分可以使用洛必达或中值定理,然后利用条件进行化简(11.23)

  11. 分部积分法可以将被积函数从二导变为原函数(11.24)

  12. 涉及摆线方程的积分(11.25),需要知道摆线的方程、图形以及对称性。学习如何利用参数方程化简。


习题

  1. 极坐标积分化直角坐标积分(11.1),一般利用 x=rcosθ,y=rsinθ 解决 。
  2. 被积函数看上去有轮换对称性的时候,就应该想到符号的对换(11.2)
  3. yx 型积分交换积分次序变为 xy 型(11.3)
  4. 区域分类并计算(11.4)
  5. 轮换对称性的应用(11.5)
  6. 直角积分转极坐标积分(11.6)
  7. 有时候证明一个二重积分极限,其实直接求出答案就行了(11.7)
  8. 二重积分的中值定理的简单应用,一般用来证明极限(11.8-1)
  9. 被积函数等于 1 表示求面积(11.8-2)
  10. 利用连续函数的保号性或者二重积分中值定理证明 ≡ 0 的积分(11.9)
  11. 混合偏导的二重积分形式(11.10)