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1. 微分方程的概念

1.1 微分方程

含有未知数及其导数(或者微分)的方程称为微分方程。是一个关于 x、y、y’ …… y^n 的方程。

1.2 常微分方程

未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程。

1.3 微分方程的阶

方程中未知函数导数的最高阶数称为微分方程的阶。

1.4 微分方程的解

y=y(x) 有 n 阶导,导入微分方程等式成立,则 y=y(x) 是一个解。

1.5 微分方程的通解

微分方程的解中的常数独立常数等于微分方程的阶数,这个解称为通解。

1.6 初始条件与特解

确定通解中的常数的条件就是初始条件。确定了常数,通解自然成了特解。

2. 一阶微分方程的求解

2.1 变量可分离型

y’=f(x)g(y) ,则 dy/g(y) = f(x)dx ,分别积分得到解,有时 g(y) 可能等于 0,注意特殊情况的处理。

2.2 可化为变量可分离型

  1. 形如 dy/dx =f(ax+by+c) ,令 u=ax+by+c 即可。

  2. 齐次微分方程

    全部变量可化为 y/x,然后令 u=y/x 。即 dy/dx = φ(y/x),dy/dx=u+du/dx=φ(u)

2.3 一阶线性微分方程

形如 y’+p(x)y=q(x) 的方程,其中 p(x),q(x) 为连续函数,通解为

指负积P[积(指积P·Q)+C] ,熟记推导

2.4 伯努利方程

y’+p(x)y=q(x)y^n,变形,两边 × y^-n ,令 z=y^1-n 即可。

3. 二阶可降价微分方程的求解

3.1 y’‘=f(x,y’)

  1. 令 y’=p(x) ,y’‘=p’,原方程变为 dp/dx=f(x,p)
  2. 求得解为 y’=p=φ(x,C1) ,然后积 p 即可

3.2 y’‘=f(y,y’)

  1. 令 y’=p,y’‘=dp/dx=dp/dy·dy/dx=dp/dy·p,原方程变为 p·dp/dy=f(y,p)
  2. 得 p=φ(y,C1) ,由 p=dy/dx 得 dy/dx=φ(y,C1),分离变量 dy/φ(y,C1)=dx
  3. 两边积分

4. 高阶线性微分方程的求解

4.1 二阶线性微分方程的概念

  1. y’’ +p(x)y’+q(x)y=f(x) 称为二阶变系数线性微分方程,p(x)、q(x) 称为系数函数。

    f(x) ≡0 时为齐次方程

    f(x) 不恒为 0 时为非齐次方程

  2. 若 p(x) 和 q(x) 恒为常数,称为二阶常系数线性微分方程

    f(x) ≡ 0 时为齐次方程,否则为非齐次方程。

4.2 线性微分方程的解的结构(以二阶为例)

  1. y1(x) 和 y2(x) 是其解且线性无关(y1/y2 不为常数),则 C1y1 + C2y2 为通解
  2. 通解+特解还是通解
  3. 特解 + 特解还是解

4.3 二阶常系数齐次线性微分方程的通解

对应的特征方程为 λ^2+pλ+q=0 ,求其特征根,三种情况如下

  1. 若 p^2-4q>0 ,由两个不等实根

    y=常指 + 常指

  2. 若 p^2-4q=0 ,二重根

    (常+常x)指

  3. p^2-4q<0 ,共轭复根,通解为

    指(常cos+常sin)

4.4 二阶常系数非齐次线性微分方程的特解

会以下两种情况

  1. 自由项 f(x)=p(x)指,特解要设为 y=指Qx^k

    其中指 4.3 的指,Q 为 x 的 n 次一般不等式,k 取 0,1,2(看 α)

  2. 自由项为 f(x)=指[Qcos+Qsin]x^k

    指照抄,l=max{m,n},k 取 0,1 (看特征根)

4.5 n 阶常系数齐次线性微分方程的解

  1. 特征根为单实根 λ,对应

    C指

  2. k 重根 对应

    (多项式)指

  3. 单复根,对应两项

    指(常cos+常sin)

  4. k 重复根,对应 2k 项

    指[(多项式)cos + (多项式)sin]

4.6 n 阶非齐次微分方程 y^n=f(x) 型的解

  1. 令 y^(n-1)=P(x) ,原方程变 P‘(x)=f(x) ,得 P(x)=y^(n-1)=积f +C1
  2. 同理重复 1
  3. 连续积分 n 次,得到 n 个任意常数的通解