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1. 根据微分方程的概念解题

1.1 已知微分方程解,反求系数

  1. 微分方程的解也是一个方程,也有导数。特解的线性组合还是特解。如果知道方程的解,直接将解带入方程求系数。(12.1)

1.2 不解微分方程,而利用方程所隐含的信息解题

  1. 微分方程的解是方程,故一导表示单调性,二导可求极值点(一导为 0,二导 < 0,可判断为极大值点)(12.2)
  2. 利用前几导的信息得到后几导的信息,并结合洛必达求极限(12.3)

2. 一阶微分方程的求解

2.1 变量可分离型

  1. 分离变量求积分即可(12.4)

2.2 可化为变量可分离型

  1. 相加型:令 u=ax+by ,然后分离变量(12.5),求解过程中可能会丢掉部分解,但是 《考试大纲》 只要求通解。
  2. 相除型:令 u=x/y 或 y/x ,然后分离变量(12.6)

2.3 一阶线性微分方程

主要是记住一阶线性微分方程的公式格式,化为 y’+p(x)y=q(x),然后套公式

  1. 套公式求解微分方程的通解(12.7),求带参数的通解的极限(12.7)

2.4 伯努利方程

在做这里方程的题目时,要学会换位思考,x 和 y,自变量和因变量是可以互换的。

伯努利方程的形式如化为 y’+p(x)=q(x)y^n ,变形换元后就是一阶线性微分方程了。

  1. 伯努利方程求解(12.8)

3. 二阶可降阶微分方程的求解

3.1 y’‘=f(x,y’) 型

牢记微分方程的解是方程,那么 y’ 也是关于 x 的方程,所以利用符号替换,p=y’,得到 p’=f(x,p) ,这就是一阶微分方程了,求出 p 后进行对 x 求积分即可得到 y 的通解。

  1. 常规练习(12.9)

3.2 y’’ = f(y,y’)

这里不含自变量 x,因此也不允许有 dx,所以稍微变换一下即可,还是将 p=y’ 替换得到 p’=f(y,p) ,但是这里的 p’ 中其实是 dp/dx,可化为 (dp/dy)·(dy/dx) = (dp/dy)·p=f(y,p) ,此时把 y 看出自变量求 p,得到 p 后再求 y 。

  1. 常规练习(12.10)

4. 高阶线性微分方程的求解

  1. 二阶微分方程的通解(多项式)

    f(x) = (多项式)e^() 。找出特征方程并求出特征根,得到相应的齐次方程的通解。根据根的类型设计特解。然后齐次方程的通解+特解得到二阶微分方程的通解(12.11)

  2. 二阶微分方程的通解(三角函数)

    f(x)=(三角函数)e^() 。根的类型设计的特解遵循(Acos+Bsin)(12.12)

  3. f(x) + g(x)

    拆开求特解,然后相加(12.12)

5. 微分方程的综合题

  1. 二阶齐次微分方程的通解 + 反常积分(12.13)
  2. 给定初始条件,确定通解的参数(12.13-2)
  3. 一阶线性微分方程的公式运用(12.14-1),这里可以看出,数学已经开始抽象化了。
  4. 函数的积分 < 函数绝对值的积分(12.14-2)
  5. 三角函数换元法求解微分方程(12.15)

6. 微分方程的几何应用

  1. 提取几何信息,得到代数关系(12.16)
  2. 几何面积(12.16-2、12.17)

习题

  1. 一阶线性方程的解的组合中,参数和为 1,即 a+b+c=1

    一阶齐次方程的解的组合中,参数和为 0,即 a+b+c=0(12.1)

  2. 变限积分的化简,结合一阶线性微分方程求解(12.2)

  3. 二阶可降阶微分方程的运用(12.3)

  4. 含绝对值的微分方程求通解,先分段,然后利用临界的对应方程或导数相同确定参数(12.4)

  5. 齐次方程的练习,u=y/x 换元(12.5),y=ux,两边求导。

  6. 如果微分方程中 y 的形式不是标准的,利用换元法换成标准方程(12.6 、12.7)

  7. 二阶线性微分方程求解步骤(12.8)