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1. 常数项级数的概念与性质

1.1 芝诺悖论(paradox)

从 A 到 B,每次走剩余的一半,永远走不到终点。(显然是错的),假设走一半路程需要半小时,则有

T=1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ···

这就出现了无穷多项相加的式子,T 为 1 。

1.2 常数项级数的基本概念及其敛散性

无穷项相加称为无穷级数,每一项可用通项公式表示。

我们研究部分和数列,如果部分和存在极限 A,则收敛于 A ,否则发散

1.3 基本性质

  1. 收敛级数的数乘也收敛
  2. 两个收敛级数相加也收敛,且其和为 A+B
  3. 两个收敛级数的线性组合收敛于 aA + bB
  4. 收敛级数去掉前 n 项后仍收敛(充要)
  5. 部分和收敛,则通项收敛于 0

2. 级数敛散性的判别方法

2.1 正项级数及其敛散性判别

通项都大于 0 的无穷级数为正项级数,简单好记。

  1. 收敛原则

    充要条件:部分和数列有界。

    显然单调不减,若收敛,必有界。若有界,又单调,显然收敛。

  2. 比较判别法

    两个正项级数,若大的收敛,则小的必收敛;若小的发散,则大的也发散(可从第 n 项开始)

  3. 比较判别法的极限形式(相除求极限)(ε 法证明)

    • 为 0 ,分母收则分子收
    • 为 +∞,分母散则分子散
    • 为常数,相同的敛散性
  4. 比值判别法(朗贝尔判别法)(ε 法证明)

    通项的后一项除以前一项为 ρ

    • ρ <1 ,收敛
    • ρ >1 ,发散
  5. 根值判别法(柯西判别法)(ε 法证明)

    通项的第 n 项开 n 次方根的极限为 ρ ,那么

    • ρ <1 ,收敛
    • ρ >1 ,发散

2.2 交错级数及其敛散性判别

级数各项正负相间出现,称为交错级数。一般通项表示为 (-1)^(n-1)·u_n 。

利用莱布尼兹判别法:通项中 u_n 单调不增,且极限为 0,则收敛。

  1. 从第一项开始,两两结对,得到单调性
  2. 从第二项开始,两两结对,得到有界性

且奇数列和偶数列分别收敛到同一个数。

2.3 任意项级数及其敛散性判别

级数的各项符号没有规律,称为任意项级数。

给每一项加绝对值,得到绝对值级数。自然绝对值级数归于正项级数中

  1. 绝对值级数收敛,原级数绝对收敛

  2. 原级数收敛,绝对值级数发散,称为原级数条件收敛

  3. 显然绝对值级数收敛,原级数必收敛。

    所有正项收敛于 A ,所有负项收敛于 B,绝对值级数收敛于 A-B ,原级数收敛于 A+B

2.4 收敛级数的性质

有限个数相加,符合结合律和交换律。但是无穷级数的极限运算过程需要某些条件。

  1. 收敛级数的项任意加括号后所得的新级数仍收敛,且其和不变。

    逆否命题为真:若加括号后得到的新级数发散,则原级数必然发散

    逆命题为假:加括号后得到的新级数收敛,不能断言原级数一定收敛,例如 a,-a,a,-a,…

  2. 若原级数绝对收敛,不论如何重排,所得的新级数也绝对收敛。且其和不变(镜像证明)

    第一步证明:收敛的正项级数任意交换各项顺序后得到的新级数仍收敛,且其和不变。

    第二步分别提取所有正项和负项的和为 A 和 B。

3. 阿贝尔定理与幂级数的收敛域

3.1 有关概念

  1. 函数项级数

    每个通项都是关于 x 的函数,当 x 取 x0 时,函数项级数变为常数项级数。

  2. 幂级数

    级数的第 n 项为 n 次幂函数

  3. 收敛点与发散点

    当 x 为 x0 时,级数收敛,则称 x0 为收敛点;否则为发散点

  4. 收敛域

    收敛点的集合称为收敛域。我们的目标就是找到收敛域,方法如下

3.2 多亏了阿贝尔

  1. 阿贝尔定理

    幂级数中,x1 收敛,则所有绝对值小于 x1 的 x 都绝对收敛;

    幂级数中,x2 发散,则所有绝对值大于 x2 的 x 都发散;

  2. 推论(收敛半径的存在性)

    收敛半径必存在,且

    • 仅在点 x=0 处收敛,此时收敛半径 R=0
    • 整个数轴上都收敛,R=+∞
    • 临界点的内部收敛,外部发散,则收敛半径为 R=|x|
  3. 收敛半径的求法

    通项后一项除以前一项求极限 ρ 。

    • R=1/ρ ,ρ不为0
    • R=+∞ ,ρ =0
    • R=0 ,ρ = +∞
  4. 收敛区间与收敛域

    开区间为收敛区间,收敛域需要判断临界点。

这都是基于标准幂级数,一般幂级数只不过是平移的结果罢了。

4. 幂级数求和函数

4.1 和函数

收敛域上,S(x) 称为和函数。(感觉和幂级数没啥区别),就是利用 S(x) 替换了而已。

4.2 幂级数的相等

  1. 两个幂级数在某领域内有相同的和函数,称这两个幂级数在该领域内相等。
  2. 若幂级数在邻域内相等,则同次幂的系数也相等。

4.3 幂级数的四则运算性质

有幂级数 A 和 B

  1. 数乘可提取
  2. 级数后求和差 = 求和差后求级数
  3. 级数相乘记为二项式展开,收敛域取小的
  4. 通项和下标的变化结合具体情况

4.4 幂级数的性质

  1. 和函数在收敛区间内连续,临界点需要判断是否收敛
  2. 和函数在收敛域上可积,且有逐项积分公式;收敛半径不变,收敛域可能扩大
  3. 和函数在收敛区间内可导,且有逐项求导公式;收敛半径不变,收敛域可能缩小

4.5 熟记的几个幂级数展开式

  1. 自然指数:x^n/n! ;R

  2. 1/(1+x) :(-1)^n·x^n ;-1 到 1

  3. 1/(1-x) :x^n ;-1 到 1

  4. ln(1+x) :(-1)^(n-1) · x^n/n ,级数从 1 开始;-1 到 1 包括 1

  5. sinx :(-1)^n·x^(2n+1)/(2n+1)! ;R

  6. cosx :(-1)^n·x^(2n)/(2n)! ;R

  7. (1+x)^α :α(α-1)…(α-n+1)/n!·x^n

    当 α <= -1 :-1 到 1

    当 -1< α < 0 :-1 到 1 包括 1

    当 α >0 :-1 到 1 包括 1 和 -1

5. 函数展开成幂级数

5.1 f(x) 的泰勒级数

f(x0) + … + n导/n! (x-x0)^n +…

x0 为 0 时称麦克劳林公式 。

泰勒级数并不都收敛于函数本身,参考(P253)

5.2 收敛的充要条件

  1. 泰勒公式的余项极限为 0 。

5.3 幂级数展开式的求法

  1. 直接法

    验证余项极限为 0 ,逐个求解相加 。(一般不用)

  2. 间接法

    利用已知的幂级数展开式,通过变量代换 、四则运算 、逐项求导、逐项积分和待定系数法得到函数的展开式。