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1. 正项级数的敛散性判别法

  1. 等比级数收敛的充要条件是 q 的绝对值小于 1 。(13.1)
  2. 1/根号 n 的级数发散,放缩法的运用(13.2)
  3. 养成判断级数类型的习惯,1/n! 的级数为 e ,放缩法(13.3)
  4. 调和级数发散,知道什么是调和平均数 。利用 x > ln(1+x) 来判断 ,还是放缩法,技巧不同(13.4)
  5. P 级数的讨论。P <= 1 发散(利用比较判别法),p >1 收敛(分段加括号+适当放缩)
  6. 级数与积分的关系(13.6)
  7. 带参数的级数需要分类讨论(13.7)
  8. 比较判别法的前提是正项级数,这个需要进行构造才能用(13.8)
  9. 将抽象函数问题转化为已知数列问题(比较法)(13.9)
  10. 比值判别法的运用(13.10),ρ <1 收敛
  11. 根值判别法的运用(13.11), < 1 收敛,期间还可能用到等价无穷小
  12. 绝对收敛的原级数必然收敛,利用不等式等技巧化简即可(13.12)

2. 莱布尼茨判别法

  1. 交错调和函数收敛(13.13),单调不增,极限为 0
  2. 构造符合莱布尼茨判别法的式子然后判别,利用分子有理化,配凑法等等(13.14)
  3. 交错调和函数条件收敛,因为调和函数发散(13.15)
  4. 分段加括号不改变敛散性,利用逆否命题解决(13.16),发散数列 + 收敛数列还是发散数列。
  5. 单调不增,极限为 0 的精华使用(13.17)
  6. 收敛 × 收敛不一定收敛,因为符号会变(13.18)
  7. 交错级数与函数结合的运用(13.19)一般都是导数作为承接点,利用比较判别,保号性,单调性,结合莱布尼兹判别法搞定

3. 综合问题分析

任意项级数的判敛问题放在这部分一并讲解 。

  1. 抽象级数的敛散性一般通过找反例解决(13.20),这个适用于选择题 。(P262总结有空看看)
  2. 当 n 足够大时,通项 u_n < 1,这是很常用的小技巧,用于放缩(13.21)
  3. 分清条件收敛和绝对收敛(13.22)
  4. 拿到一个级数先判断级数的类型(正项、交错、任意项级数),若是正项则利用比较、比值、根值等方法化简即可。

4. 幂级数的收敛域

两个出题方向:分别是抽象型的研究对象和具体型的研究对象。都是重点

4.1 具体型问题

一般分为三个步骤,也就是阿贝尔定理

  1. 加绝对值称为称为正项级数
  2. 利用比值或根值判别法,令极限 <1,得到收敛区间
  3. 单独讨论临界点的敛散性

结合 2 和 3 得到收敛域。(13.24)

4.2 抽象型问题

如下结论谨记

  1. 根据阿贝尔定理,有三种情况

    • x1 处收敛,则 R >= x1-x0
    • x1 处发散,则 R <= x1-x0
    • x1 处条件收敛,则 R = x1-x0
  2. 已知 a_n(x-x1)^n ,讨论 b_n(x-x2)^m 的收敛性

    1. 转化利用初等变形,包括:平移收敛区间和乘以因式 (x-x2)^m

    2. a_n 与 b_n 的转化一般通过微积分变形完成,包括逐项求导和逐项积分

    3. 以下三种情况,级数的收敛半径不变,收敛域要具体问题具体分析

      乘以因式和平移,收敛半径不变

      逐项求导,收敛半径不变,收敛域可能缩小

      对级数逐项积分,收敛半径不变,收敛域可能扩大。

下面通过例题来掌握

  1. 收敛点的平移以及逐项求导以及乘以因子,其收敛半径都不变(13.25)
  2. 收敛半径的求法的运用(13.26)

5. 求和函数

  1. 求和函数可以先求导,再求和,再求积分(13.27)

  2. 或者先积分,再求和,再求导(13.28)

    当 (an+b)^c 在分母上时,先导后积

    当 (an+b)^c 在分子上时,先积后导

    注意,导数的积分还需要注意下限,除非下限为 0,同时不要忘记收敛域。

  3. 收敛域的求法,注意幂函数的变形,万能求法是后一项/前一项 < 1 得到收敛半径先,然后判断临界点。

    和函数的计算一般是利用导数或积分等手段化为常规级数(13.29)

  4. 求和函数还可以构造微分方程(13.30)

  5. 涉及微分方程的幂级数,求解和函数,主要分为带入计算和递归构造(13.31)

  6. 幂级数的运算和逐项求导公式即二阶常系数线性微分方程的解法(13.32)

6. 幂级数的展开式

  1. 直接恒等变形。熟记幂级数的展开式形式(13.33)
  2. 幂级数的展开(13.34-1)麦克劳林展开式和级数对应项的系数相等(13.34-2)
  3. “可积不可积” 函数需要展开后求积。(13.35-1)
  4. 展开后求导与直接求导的比较(13.35-2)

习题

  1. 判断交错级数后,利用正项级数的判别法判断是否绝对收敛,利用莱布尼茨判别法判断是否条件收敛(13.1)

  2. 抽象函数收敛的判别法,简单的都是利用放缩,包括:基本不等式、收敛的平方仍收敛,从第 N 项开始小于 1 等手段(13.2)

  3. 级数的展开,一般不能直接展开(太过简单)。对于多项式,先分解使得分子为常数,然后利用先积后导或先导后积等手段搞定(13.3)

  4. 交错级数的莱布尼茨判别法的运用(13.4),通项极限为 0 且单调不增 。

  5. 带参数的级数的敛散性判断一般使用分类讨论(13.5)

  6. 遇到比较复杂的级数,需要观察其框架,利用泰勒级数将其展开处理(13.6)

  7. 幂级数的好处是可导可积,并且很直观,因此如果遇到复杂的函数,首先考虑能不能先化为级数形式去做。

    幂级数在收敛区间内任意阶可导,所以展开前的函数也任意阶可导。(13.7)

    f^n(0) 的形式(13.7-2)

  8. 看清题目(敛散性和求和是不同的概念),级数求和一般需要找到原函数,加法可拆,而且级数中的 x 可提取,这两个技巧一般可以解决问题(13.8)

  9. 判断敛散性,有时候交错级数也不能一眼看出,这时候需要利用分子有理化,分母有理化等手段拆分级数,得到两个级数相加,然后分别判断两个级数的敛散性(13.9)

  10. 证明极限存在一般使用单调有界定理,除非你能直接算是(那是不可能的)。如果是递推式,差最后一步!!取极限,因为两边取极限后 a_n+1 和 a_n 都等于极限 a,所以递推式也就成了只有一个未知数的等式。(13.10),还有该死的比较判别法(13.10-2)

  11. 微分方程与级数的结合,首先利用微分方程可得通解,初始条件得特解,特解展开得级数(13.11)

  12. 将等式化为微分方程求解,重点在于如何将级数化为函数(13.12)

  13. 级数和递推式的关系,一般利用级数的求导得到某种关系,然后求微分方程(13.13)