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1. 一元函数微分学的物理应用

质点运动的位移关于时间 t 的函数为 s=s(t) ,称它为质点的运动方程 。

速度为 v(t)=s’(t)

加速度为 a(t) =v’(t)=s’‘(t)

这就是导数的物理意义。

2. 相关变化率

y=f(x) ,(x=x(t),y=y(t)) ,这些函数均可导,则 dy/dt=dy/dx·(dx/dt) = f’(x)·dx/dt ,dy/dt 与 dx/dt 由 f’(x) 联系在一起,称这种相互关联的变化率为相关变化率 。

3. 一元函数微分学的几何应用

设 y(x) 二阶可导,则曲线 y=y(x) 在其上点 (x,y(x)) 处的曲率公式为 k=|y’’|/[1+(y’)^2]^(3/2)

曲率半径的计算公式 R=1/k

曲率圆的表达式 (X-α)^2 +(Y-β)^2=R^2

其中 α=x-y’[1+(y’)^2]/y’’ ,β=y+[1+(y’)^2]/y’’

4. 一元函数积分学的物理应用

4.1 变力沿直线做功

设方向沿 x 轴正向的力函数为 F(x)(a<=x<=b) ,则物体沿 x 轴从点 a 移动到 b 时,变力 F(x) 所作的功为 a 到 b 的积分 。ΔW=FΔS 的积分。

4.2 抽水做功

将容器中的水全部抽出所做功特点:重力不变,ΔW=xpgA(x)Δx ,这里 A(x) 是横截面积。x 是高度。

4.3 水压力

垂直浸没在水中的平板的一侧收到的水的压力,特点是压强随水的深度而改变,求解这类问题的关键是确定水深 x 处 的宽度,dP=xpgf(x)dx ,f(x) 是宽度和水深的关系。

5. 一元函数积分学的几何应用

5.1 “平面上的曲边梯形” 的形心坐标公式

从 a 到 b

x = xf(x) 的积分 / f(x) 的积分

y= 1/2 × [f(x)]^2 的积分 / f(x) 的积分

5.2 平面曲线的弧长

  1. 直角坐标方程 y=y(x) :微元是每一小段,其实就是勾股定理,dx和dy构成的直角三角形的斜边。然后积分

  2. 参数方程 x=x(t),y=y(t) :还是勾股定理,不过 dx=x’(t)dt ,dy=y’(t)dt

  3. 极坐标方程 r=r(θ) :BC 是 r’(θ)dθ ,AC 是 rdθ ,勾股定理得到 AB

    极坐标系下的曲线弧长

5.3 旋转曲面的面积

  1. y=y(x) 在区间 [a,b] 上的曲线弧段绕 x 轴转一周所得到的旋转曲面的面积。这相当于一个横放的圆柱,我们需要切出一片作为微元,展开来也就是一个长方形,长为 2Π|y(x)| ,宽为 dx 和 dy 对应的斜边,所以是

    dS=2Π|y(x)|d斜边

  2. x=x(t) ,y=y(t) 其实就是将 y(x) 改为 y(t) ,dx = x’(t)dt ,dy=y’(t)dt

5.4 平行截面面积为已知的立体体积

界面面积为 x 的连续函数 A(x) ,则体积微元是 dV=A(x)dx(P180 注例1)

6. 微分方程的物理应用

主要涉及以下两个问题

  1. 牛顿第二定律 。相关物理量有:1. 物理质量 m ,2. 力 3. 加速度

  2. 变化率问题 。提法是 “t 时刻某量 y 对 t 的变化率对 t 时刻某量成正比” 如

    1. 冷却定律

      t 时刻物体温度 x(t) 对时间的变化率与 t 时刻物体和介质的温差 x-x0 成正比

      dx/dt = -k(x-x0) ,符号表示温度随时间的增加而降低

    2. 总人数 N

      t 时刻已掌握新技术的人数 x 的变化率和已掌握新技术与未掌握新技术的人数之积成正比

      dx/dt=+kx(N-x) 正号代表 dx/dt >0

7. 欧拉方程

形如 x^2二导+px导+qy=f(x) 的方程称为欧拉方程 。有固定解法

  1. x > 0 时,令 x=e^t ,则 t=lnx,dt/tx=1/x

    dy/dx=dy/dt·(dt/dx)=1/x·dy/dt ;d2y/dx2=-1/x^2·dy/dx+1/x^2·d2y/dt2

    带入化简求解即可(别忘了用 t=lnx 回代)

  2. x <0 时,令x =-e^t 即可

8. 傅里叶级数

8.1 引言

周期函数 φ(x+T)=φ(x) ,周期现象处处可见、活塞、电压、吃饭等等。

这里要熟悉一个常见的周期函数:正弦函数 Asin(wt+φ) ,其中 w 称为角频率,A 为振幅,φ 为初相角,且 w=2Π/T ,给出如下序列

A0 ,A1sin(wt=φ1),… ,Ansin(nwt+φ)

问题是一个周期函数是否可以由上面的序列的和表示出来。

答案是可以:周期函数可由一个序列的正弦型函数叠加得到,从几何上讲,周期函数的图形可由一个序列的正弦型曲线合成。我们称之为三角级数 。例如(P281 例子 )

8.2 欧拉-傅里叶方法与傅里叶级数的产生

φ(t)=A0+sum Ansin(nwt+φn) —– 1 ,利用三角公式展开得到

φ(t)=A0 + sum(ancosnwt+bnsinnwt) —– 2

这里的问题是求出 an 和 bn 和 A0,称该方法为欧拉-傅里叶方法。

首先温习以下基础知识,三角函数族的正交性,称 (1,cosx,sinx,cos2x,sin2x,…,cosnx,sinnx) 为三角函数族。

这个函数族中任意两个不同函数的乘积在 [-Π,Π] 的积分值为 0 ,称为正交性 。

顺便 sin^2(nx) 和 cos^2(nx) 的积分值为 Π 。

  1. 对 2 逐项积分,正交性抵消得到 A0
  2. 对 2 两边同时乘 cosmx 后再积分得到 an
  3. 对 2 两边同时乘 sinmx 后再积分得到 bn

你会发现,A0=a0/2 ,所以以后直接将 A0 写为 a0/2

求出来的 φ(x) 称为 f(x) 在 [-Π,Π] 的傅里叶级数 。

8.3 傅里叶级数的收敛性-狄利克雷收敛定理

傅里叶的学生狄利克雷完成了前提。

f(x) 在 [-Π,Π] 上连续或只有有限个第一类间断点,且至多只有有限个(真正的)极值点,则傅里叶级数处处收敛,记其和函数为 S(x) ,则分三类

  1. f(x) ,x 为连续点
  2. (左极限+右极限)/2,x 为间断点
  3. [f(-Π+0)+f(Π-0)]/2 ,x=+-Π

这可比泰勒展开的条件放松多了。记住,f(x) 和 S(x) 并非处处相等 。(注例 2)

8.4 推广至任意区间上的傅里叶展开式

上面仅限于 [-Π,Π] ,未免有点死板,导致使用有一定的局限性。

第一个问题,区间端点的移动,相当容易,周期函数 f(x) 在一个周期上的积分值与起点无关 。于是,当 f(x) 以 2Π 为周期时,[-Π,Π]可随意换成 [a,a+2Π],这个问题迎刃而解。

第二个问题,区间长度的改变。作变量代换可解决 。若 f(x) 的周期是 2l ,而不是 2Π ,即研究区间 [-l,l],则可令 t=Π/l · x,当 -l<=x<=l 时,有 -Π<=t<=Π 。记 f(x)=f(l/Π·t)=g(t) ,剩下的就是一样了。注意间断点的处理。

8.5 正弦级数与余弦级数

  1. [-l,l] 上是偶函数,积分为 0,且傅里叶展开式中,an=0,称为正弦级数 。
  2. [-l,l] 上是奇函数,积分为 2 倍[0,l],且傅里叶展开式中,bn=0,称为余弦级数 。

任意一个定义在 [-l,l] 上的函数均可表示为一个奇函数与一个偶函数之和。

如果只有 [0,l] 中有定义,我们可以进行延拓,分为

  1. 奇延拓
  2. 偶延拓

注例 3 使用了区间端点的移动法则,利用级数的性质可以得到很多神奇的结果。例如 Π/4