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1. 向量代数

1.1 向量

既有大小又有方向的量称为向量。

1.2 向量的相等

两个向量,只要它们的大小相等、方向相同,它们就是相等的向量,与它们在空间中的位置无关。

1.3 向量的表达形式

a=(ax,ay,az) = axi + axj + azk

1.4 向量的运算及其应用

  1. 数量积(内积、点积)
    1. 内积的坐标运算
    2. 内积的 cos 运算
    3. 在 b 是的投影是内积除以 |b|
    4. 向量垂直,内积为 0
  2. 向量积(外积、叉积)
    1. 叉积还是一个向量,符合右手规则(转向角不超过 Π),是一个 3×3 行列式
    2. 平行的叉积为 0,可理解为面积为 0 。
  3. 混合积
    1. [abc]=(a×b)·c = 3×3行列式
    2. 混合积的几何意义是体积,结果为 0 说明三向量共面

1.5 向量的方向角和方向余弦

  1. a 与 x 、y、z 轴正向的夹角 α 、β 、γ 为 a 的方向角 。
  2. 三个方向角的余弦为方向余弦,且 cos=ax/|a| ,其余两个同理
  3. a/|a| 称为向量 a 的单位向量(表示方向的向量),也就是三个方向角的余弦值的平方和为 1 。
  4. 任意向量 r 可表示为方向余弦构成的单位向量和模的乘积。

2. 空间平面与直线

2.1 平面与直线的基本概念、性质与公式

  1. 平面方程

    1. 一般式:Ax+By+Cz+D=0

    2. 点法式:A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0,因为 (A,B,C) 是法向量,平面内的向量都和它垂直,点积为 0 。

    3. 三点式:任意点(x,y,z)和三个不共线的已知点做差得到三个向量,三个向量共面,混合积为 0 。

    4. 平面束方程:两个不平行的平面相交的直线 L,过直线 L的平面族称为平面束,表示为

      A1x+B1y+C1z+D1 + λ(A2x+B2y+C2z+D2)=0 或者

      μ(A1x+B1y+C1z+D1) + A2x+B2y+C2z+D2=0

  2. 直线方程

    1. 一般式:两个不平行平面方程联合
    2. 点向式:(x-x0)/l=(y-y0)/m=(z-z0)/n
    3. 参数式:点向式的变形,例如 x=x0+lt ,剩余类推
    4. 两点式:点向式的变形,l=(x2-x1) ,剩余类推

2.2 点、直线与平面的位置关系

  1. 一组重要的距离公式
    1. 点到平面的距离:d = |f(P)| / 法向量长度 ,其实就计算斜边到法向量的投影。
    2. 点到直线的距离:d = | ξ× P0P1| /|ξ| ,叉乘的绝对值代表平行四边形面积,除以底就是高。
    3. 直线到直线的距离
      1. 平行直线:从直线A找一个点,化为点到直线的距离
      2. 异面直线:d=|(ξ1×ξ2)·P1P2| /|ξ1×ξ2| ,混合积表示平行六面体的体积,除以底面积就是高。
    4. 平行平面之间的距离 d = |D1-D2|/法向量长度
  2. 直线间的关系
    1. 两直线垂直,方向向量的点积为 0 。
    2. 两直线平行,方向向量成正比
    3. 两直线夹角为 θ ,方向向量符合点积公式 。
  3. 平面间的关系
    1. 垂直:法向量点积为 0
    2. 平行:法向量成正比
    3. 有夹角θ,符合一般点积公式
  4. 平面和直线的关系
    1. 垂直,平面的法向量和直线的方向向量成正比
    2. 平行:方向向量和法向量点积为 0
    3. 有夹角 θ,则 Π/2-θ 和法向量还有方向向量构成点积公式

3. 空间曲线与曲面

3.1 空间曲线

  1. 一般式:F(x,y,z)=0 ,G(x,y,z) =0,几何背景是两个曲面的交线 。

  2. 参数方程 x=φ(t) ,y=ψ(t) ,z=ω(t) ,其实就是不同方向的增长速度 。

  3. 空间曲线在坐标面上的投影(重点)

    一般式中将 z 消去得到 x 和 y 的关系式,加上 z=0 ,就是 xOy 投影曲线 。其他平面类似 。

3.2 空间曲面

  1. 曲面方程:F(x,y,z)=0

  2. 二次曲面

    椭球面:(x/a)^2 + (y/b)^2 + (z/c)^2 = 1 ,横截竖截都是椭圆 。

    单叶双曲面:(x/a)^2 + (y/b)^2 = 1+(z/c)^2 ,也就是横截是椭圆 ,竖截面是双曲线

    双叶双曲面:(y/b)^2 + (z/c)^2 = (x/a)^2-1 ,竖截面是椭圆 ,横截面是双曲线

    椭圆抛物面:x^2/2p+y^2/2q=z(p,q>0) ,横截面是椭圆 ,竖截面是抛物线

    椭圆锥面:(x/a)^2+(y/b)^2=(z/c)^2 ,横截面是椭圆,竖截面是两交叉直线

  3. 柱面:动直线沿定曲线平行移动所形成的曲面

    椭圆柱面:(x/a)^2=(y/b)^2=1 (当 a=b 时为圆柱面) ,方向为 y 轴的直线绕椭圆走一趟。

    双曲柱面:(x/a)^2-(y/b)^2=1 ,方向为 y 轴的直线绕双曲线走一趟

    抛物柱面:方向为 y 轴的直线绕抛物线走一趟。

    一般认为缺少变量的方程为柱面,除非特殊说明 。

  4. 旋转曲面(重点):曲线 C 绕一条定直线旋转一周所形成的曲面

    1. 曲线(母线)的一般式绕直线(旋转轴)的点向式旋转 。直线取一点 M0,直线方向向量为 s ,母线取一点 M1 ,过 M1 的纬圆上有一点 P(x,y,z) ,关系有

      M1P⊥s ,M0P=M0M1 ;然后联立母线方程消去 M1 得到曲线方程 。四个方程 3 个未知数,M1 是任意取的,必须消去 。而 M0 为直线上的一点 。

    2. 曲线绕 z 轴旋转的求法

      母线取 M1 ,M1 的纬圆上取 P(x,y,z) ,则 OM1=OP ,即 x^2+y^2+z^2=… ,然后z=z1 ,得到

      x^2+y^2=x1^2+y1^2 ,结合 F(x1,y1,z)=0 和 G(x1,y1,z)=0 ,消去 x1 和 y1 即可 。或者解出

      x1=φ(z) ,y=ψ(z) ,得到 x^2+y^2=φ(z) + ψ(z)

4. 多元函数微分学的几何应用

4.1 空间曲线的切线与法平面

  1. 设空间曲线由参数方程 x=φ(t),y=ψ(t),z=ω(t) 给出,分量均可导,过 P(x,y,z) 则
    1. P 点切向量为 (φ‘,ψ’,ω‘)
    2. P 点切线方程:点向式
    3. P 点法向量:点法式
  2. 空间曲线由交面式给出 F(x,y,z)=0,G(x,y,z)=0 ,有
    1. 切向量:x 方向的分量为 F 和 G 对 y,z 的偏导的行列式,其他分量类比 。原理是叉乘 。
    2. 切线方程:点向式
    3. 法平面方程:点法式

4.2 空间曲面的切平面与法线

  1. 曲面由 F(x,y,z)=0给出,P(x,y,z) 是曲面上的点,则

    1. 法向量为:(偏x导,偏y导,偏z导) ,法线方程:点向式
    2. 切平面方程:点法式
  2. 曲面由曲线 z=f(x,y) 给出,F(x,y,z)=f(x,y)-z ,则

    1. 法向量:n(偏x导,偏y导,-1):法线方程:点向式
    2. 切平面方程:点法式

    注意:z-z0=偏x导(x-x0)+偏y导(y-y0) ,于是 z=f(x,y) 在点 (x0,y0) 处的全微分表示曲面 z=f(x,y) 在点 (x0,y0,z0) 处的切平面上的点的竖坐标的增量 。

    已知法向量,可求法向量的单位向量,除以长度即可。

4.3 空间曲面的面积计算

设有曲面 S:z=z(x,y) ,函数具有连续的偏导数,曲面的面积微元是平行四边形 ,x 方向增量为 dx ,则其边长为 偏x导×dx ;同理 y 方向增量为 dy,边长为偏y导×dy;将两个边长看作向量,为

(dx,0,偏x导×dx) ,(0,dy,偏y导×dy) ,面积等于向量叉乘,得到微元

dS=sqrt(1+(偏x导)^2+(偏y导)^2)

然后求和,也就是求 xOy投影下面积的积分 。

5. 方向导数与梯度

5.1 方向导数

不仅要知道坐标轴方向的变化率(偏导数),还要知道其他特定方向的变化率,也就是方向导数 。

  1. 定义:一射线从 P0 出发,取一点 P,P-P0 为距离,则极限 [u(P)-u(P0)]/(P-P0) 就是射线方向的导数,称方向导数

  2. 方向导数的计算公式,处处可微,任一方向导数存在,则

    偏 l 导 =偏x导cosα + 偏y导cosβ+偏z导cosγ ,方向余弦都是直线 l 的 。

    可以理解为 x,y,z 方向对 l 直线的投影之和。

5.2 梯度

哪个方向的方向导数最大?最大值是多少?函数在点 P 沿哪一个方向增加的速度最快?为此引入一个很重要的概念–梯度 。

  1. 设三元函数 u=u(x,y,z) 在点 P0(x0,y0,z0) 处具有一阶偏导数,则定义

    grad u| p0=(ux’,uy’,uz’) 为梯度

    其实很好理解,三个方向的变化的正交叠加就是最大的 。

5.3 方向导数与梯度的关系

方向导数 = grad u|P0 ·l = grad ·(cos,cos,cos)

结论:函数在某点的梯度是一个向量,它的方向与取得最大方向导数的方向一致,而它的模为方向导数的最大值