higher mathematics

1. 一元函数微分学的物理应用

没啥难点,将文字翻译成数学表达式即可

  1. 等体积问题,列关系式,求导求速率(14.1)
  2. 关于 t 的问题,一般都是对 t 求导,但是得先把函数关系式列出来(14.2)
  3. 速度和加速度关于时间的关系,一般我比较喜欢直角坐标系下的变化(14.3)
  4. 加速度和泰勒展开式余项产生关系,因为有二导嘛(14.4)

2. 一元函数微分学的几何应用

曲率问题是热点之一,记住曲率和曲率半径的公式最关键。

  1. 曲率公式的背诵且转化(14.5),利用等式求微分方程
  2. 曲率公式和弧长公式的结合(14.6)

3. 一元函数积分学的物理应用

注意:仔细读题,将文字描述翻译成数学表达式,用好微元法,基本问题为主,不宜复杂。

3.1 变力沿直线做功

  1. 做功 w=fs (14.7)

3.2 抽水做功

  1. 重力做功,微元是 dW=pgxf(x)dx ,f(x) 是横截面积。(14.8)

3.3 水压力

  1. 水箱压力 dP=FdS ,F=ρgh,h是高度,dS=f(x)dx ,f(x) 是宽度 (14.9、14.10)

4. 一元函数积分学的几何应用

  1. 形心公式练习(14.11)
  2. 直角坐标系下的弧长计算(14.12)
  3. 利用对称性和极坐标公式计算弧长(14.13)
  4. 参数坐标计算弧长(14.14)
  5. 表面积计算,多个方程的话分开求,微元就是长方形,dS=2Πrdl ,其中 r 是半径,由 y(x) 决定,l 是弧长微元,勾股定理伺候。(14.15)
  6. 注意,求弧长的精髓就是勾股定理,准确地说我比较喜欢 dx 和 dy 围成的三角形的斜边。(14.16)

5. 微分方程的物理应用

  1. 减速过程的滑行距离(14.17)
  2. 温度冷却问题(14.18)
  3. 新技术掌握问题(14.19)

6. 欧拉方程

  1. x=e^t 代入,熟记一导和二导(14.20)

7. 傅里叶级数

  1. S(x) 的偶延拓,注意 f(x) 和 S(x) 的关系,通过观察 S(x) 判断是偶延拓还是奇延拓,如果只有 cos 则是偶延拓(14.21)
  2. 余弦级数的练习(14.22),这时 bn = 0
  3. 将函数展开为傅里叶级数(14.23),绝对值分类即可

习题

  1. 相切代表导数相等,同一点代表一个关系式,有相同的曲率结合导数相切得到二导相等(14.1)
  2. 万有引力公式的积分(14.2)
  3. 求面积的参数方程微元为 dS=y(t)x’(t)dt ,参数方程的旋转面积(分别绕 x 和 y 轴);参数方程的图形旋转的体积 (绕 x 轴)(14.3)
  4. 极坐标下的面积公式和弧长公式的计算,面积微元 ds=r^2dθ ,弧长微元是 sqrt(r^2+r’^2)dθ(14.4)
  5. 提升水做功(14.5),主要是横截面积微元法,
  6. 静压力=液体比重×液体深度×受力面积 (14.6)
  7. 极坐标的弧长公式的运用(14.7)
  8. 笛卡尔叶形线包围的面积(14.8),有些函数是隐函数,不能使用公式,此时可以尝试一下极坐标。
  9. 内摆线所围成的面积(14.9),有时候函数是隐函数,可以尝试使用参数方程。
  10. 牛顿第二定律问题,一般是说受到的力的大小与速度的关系,力表示为 ma,a 为二导;速度为一导,所以是一个微分方程,盘它即可(14.10)