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1. 三重积分的概念、性质与对称性

1.1 三重积分的概念

物理背景可以被我们理解,就是以 f(x,y,z)为点密度的空间物体的质量 。三重积分的被积函数 f(x,y,z) 定义在三维空间区域上,几何来说很抽象了,是思维空间的图形体积,无法画出图形 。

前面学的 “分割、近似、求和、取极限” 求出了二维平面的面积(定积分)和三维空间中 “曲顶柱体的体积”(二重积分),现在问题上升到思维空间,我们可以用同样的方法求出 “四维空间的图形体积” ,这就是三重积分 ∫∫∫f(x,y,z)dv

1.2 三重积分的存在性

也称可积性。不加证明地给出两条件

  1. 分片光滑曲面,f(x,y,z) 连续,三重积分存在 。
  2. 有限个点 、曲线和有限个光滑曲面外,都是连续 ,三重积分存在 。

考研过程中,一般假设 f(x,y,z) 在 Ω 上连续,即三重积分存在,不为难大家

1.3 三重积分的精确定义

类比定积分和二重积分。给出三重积分的精确定义

∫∫∫f(x,y,z)dv=ΣΣΣ f(a+(b-a)/n·i, c+(d-c)/n·j, e+(f-e)n·k) (b-a)/n · (d-c)/n ·(f-e)/n

凑定义步骤如下:

  1. 提出 1/n·1/n·1/n
  2. 凑出 i/n ,j/n ,k/n
  3. b-a = 1-0 ,尽量凑出 0 到 1 的二重积分。

例子(P342 注例)

1.4 三重积分的性质 (正常情况)

  1. 空间区域体积:∫∫∫1dv
  2. 可积函数必有界
  3. 积分的线性组合
  4. 积分限的拆分(可理解为将空间拆为几部分求解然后求和)
  5. 积分的保号性 :f<g,则积分同样;特殊地有:积分的绝对值 < 绝对值的积分
  6. 估值定理:mV<= 积分 <= MV
  7. 中值定理:积分=f(δ,η,ξ)V

1.5 普通对称性与轮换对称性

分析方法和二重积分完全一样

  1. 普通对称性

    关于 yOz 对称,偶函数求一半×2,奇函数为 0

    其他坐标对称类比

  2. 轮换对称性

    x 和 y 对调后,Ω 不变,则 f(x,y,z) 和 f(y,x,z) 积分相等,称为轮换对称性

    如 Ω是 x^2+y^2+z^2<=R^2 ,f(x) 、f(y) 、f(z) 的积分都是一样的 。

2. 三重积分的计算

2.1 基础性计算方法

  1. 直角坐标系下三重积分的累次积分法

    Ω 是一个长方体,三个方向的积分限彼此没有关系,积分简单,可随意交换顺序。

    特殊的 Ω ,其实就是积分限之间有相互的关系,假设先积 z , 然后 y ,然后 x ;则 z 的积分限是 z(x,y) 的表达式 ,y 的积分限是 y(x) 的表达式,x 的积分限是两个常数 。

  2. 柱面坐标系下三重积分的计算

    对于平行 z 轴的柱面图形来说 ,观察柱面方程,x 和 y 都是带平方的,所以可以转化为极坐标,具体思路是利用直角坐标积分先积 z ,然后只剩下 x 和 y 的积分部分开始利用极坐标处理。

  3. 球面坐标系下三重积分的计算

    球面坐标的参数方程为 :x=rsinφcosθ ,y=rsinφsinθ ,z=rcosφ

    1. r=r0 ,为球心在原点的球面
    2. φ=φ0,为以 z 轴为中心轴的圆锥面 。
    3. θ=θ0 ,为过 z 轴的平面

    积分先找微元,上面的 r ,φ,θ 中,先变 r ,得到两个球面(r 和 r+dr)夹着厚度为 dr 的球面;再变 φ ,两个圆锥把厚度为 dr 的球面切成了圆环 ,厚度为 dr ,宽度为 rdφ(圆弧=半径×弧度);最后是变 θ,两个平面一切,把圆环切成了近似长方体,长为 rsinφdθ (rsinφ 是圆环的半径,r 是球的半径,不要乱) ;所以体积微元是近似长方体 dv=r^2sinφdθdφdr 。

    一般来说,被积函数有平方和,或者积分区域有球或圆锥,考虑极坐标。

    如何定限是个问题,一般先定 r,也就是 r(φ,θ) ,然后定 φ,也就是 φ(θ),最后定 θ ,两个常数 。

2.2 技术性计算方法

主要指两个技术性工具

  1. 对称性(包括普通对称性和轮换对称性)
  2. 形心公式的逆用 x0=∫∫∫xdv/∫∫∫dv ;得到 ∫∫∫xdv=x0·V ,其中 V 为 Ω 的体积 。

3. 第一型曲线积分的概念、性质与对称性

以下仅讨论空间情况,平面较简单。

3.1 第一型曲线积分的概念

物理背景是求 f(x,y) (或 f(x,y,z))为线密度的平面(或空间)物质曲线的质量 。仍然是 “分割、近似、求和、取极限” 。∫f(x,y)ds 或 ∫f(x,y,z)ds 。

结合定积分加深理解,定积分求直线物体的质量(密度为 f(x)),而第一型曲线积分求曲线物体的质量 。

3.2 第一型曲线积分的存在性

不加证明地给两个可积条件

  1. 空间曲线 Γ 分段光滑曲线,f(x,y,z) 在 Γ 上连续 ,积分存在
  2. 空间曲线 Γ 分段光滑曲线,f(x,y,z) 在 Γ 上有界 ,且除有限个点外都连续,积分存在

考研数学总连续

3.3 第一型曲线积分的性质

  1. 求弧长,∫1ds = L
  2. 可积函数必有界
  3. 积分满足线性组合
  4. 积分限的拆分,拆分求和
  5. 积分的保号性,f<g ,积分也是;特别积分的绝对值小于绝对值的积分
  6. 估值定理:mL <= 积分 <=ML
  7. 中值定理:积分=f(ε,η,ξ)L

3.4 普通对称性与轮换对称性

分析方法和二、三重积分完全一样

  1. 普通对称性

    偶×2,奇 0

  2. 轮换对称性

    x 和 y 对调后,Γ 不变 。

4. 第一型曲线积分的计算

4.1 基础性计算方法-化为定积分

第一型曲线积分就是由定积分推广而来,所以计算方法基本就是化为定积分

  1. 对于空间情况

    空间曲线 Γ 由参数给出,则微元 ds 等于三个方向参数方程的导数的合成。

  2. 对于平面

    1. 由 y=y(x) 给出,有 ds 等于 dx 和 dy 的合成
    2. 参数式给出,则微元 ds 等于两个方向参数方程的导数的合成。
    3. 极坐标给出,ds 为 rdθ 和 r’dθ 的合成给出,弧长和切线呈直角 。

4.2 技术性计算方法

  1. 边界方程带入被积函数(被积函数就定义在边界上,积分限和被积函数使用同一套变量)
  2. 对称性(普通对称性和轮换对称性)
  3. 形心公式的逆用 。x0=∫xds/∫ds ,得到 ∫xds=x0·L

5. 第一型曲面积分的概念、性质与对称性

5.1 第一型曲面积分的概念

物理背景是以 f(x,y,z) 为面密度的空间物质曲面的质量 。 还是 “分割、近似、求和、取极限”

∫f(x,y,z)dS

将二重积分和第一型曲面积分结合记忆 。二重积分定义在 “二维平面” 上 ,而第一型曲面积分则定义在 “空间曲面” 上 。

5.2 第一型曲面积分的存在性

不加证明地给你两可积条件

  1. 空间曲面 Σ 是分段光滑曲面 ,当 f(x,y,z) 在 Σ 上连续时,可积
  2. 空间曲面 Σ 是分段光滑曲面 ,当 f(x,y,z) 在 Σ 上有界,有限个点和有限条光滑曲线外都连续,可积 。

考研一般都连续

5.3 第一型曲面积分的性质

  1. ∫1dS=S
  2. 可积函数必有界
  3. 积分满足线性组合
  4. 积分限可拆
  5. 积分保号性:f<g,积分也如此,特别有积分的绝对值小于绝对值的积分 。
  6. 估值定理:mS <= 积分 <= MS
  7. 中值定理:积分=f(ε,η,ξ)S

5.4 普通对称性和轮换对称性

  1. 普通对称性

    偶函数×2,奇函数为 0

  2. 轮换对称性

    x 和 y 对调后,Σ 不变 。

6. 第一型曲面积分的计算

6.1 基础性计算方法-化为二重积分

第一型积分就是由二重积分推广而来的,所以计算第一型曲面积分的基本方法就是将其化为二重积分 。三步走

  1. 投影某平面(xOy)
  2. z(x,y) 或者 F(x,y,z)=0 带入 f(x,y,z)
  3. 微元面积 ds =1 、z偏x 、z偏y 的合成 ×dxdy

得到 ∫∫f(x,y,z(x,y)) 合成 dxdy

注意:投影方向自己决定,但是投影点不能重合,也就是说投影到 xOy ,则 z(x,y) 是单值函数 。如果实在不行,利用积分限可拆的性质分别求解再求和 。

6.3 技术性计算方法

  1. 边界方程带入被积函数(被积函数就定义在边界方程上的话,由于积分限和被积函数使用同一套变量,因此有时候可以做简单的替换)
  2. 对称性(包括普通对称性和轮换对称性)
  3. 形心公式的逆用 x=∫∫xdS/∫∫dS ,得到 ∫∫dS=x0·V

7. 重积分与第一型线面积分的应用

7.1 几何量

  1. 平面区域

    1. 曲边梯形:定积分搞定
    2. 任意形状:二重积分
  2. 空间区域

    1. 曲顶柱体:二重积分
    2. 任意形状:三重积分
  3. 空间光滑曲线(参数形式),参数方程导数的合成

  4. 光滑曲面薄片(投影不重叠):1 、z偏x导 、z偏y导合成

    曲面面积相当于二重积分,函数就是合成式。

7.2 重心(质心)与形心

考研范畴内,重心就是质心;密度为常数时,重心就成了形心 。

  1. 平面薄片重心公式(ρ为面密度,D是平面区域)

    x0 = ∫∫xρds/∫∫ρds ,y0=∫∫yρds/∫∫ρds

  2. 空间物体的重心(类比平面,多了一元而已,三重积分)

  3. 光滑曲线的重心(面密度变为线密度,计算方法参考 1)

  4. 光滑曲面的重心(二重积分,形式还是和 1 一样)

这里形式都一样,但是容易出错的地方是微元的选取,最好有几何背景或物理背景记忆 。

7.3 转动惯量

  1. 平面薄片。面密度为 ρ ,D 为平面区域 ,对 x 、 y 轴、原点的转动惯量分别为

    Ix=∫∫y^2ρdσ ,Iy=x^2ρdσ ,Io=∫∫(x^2+y^2)ρdσ

    其实这些物理量的积分都是基于找微元,而微元的选取都是物理公式的体现 。转动管理是质量旋转时的惯性 。I=m^2

  2. 空间物体的旋转惯量

    x0=∫∫∫(y^2+x^2)pdv ,y 和 z 轴类比 ,圆心改为 (x^2+y^2+z^2)

  3. 光滑曲线 L (密度改为线密度)

  4. 光滑薄片 Σ (密度改为面密度)

7.4 引力

GMm/r^2

  1. 平面薄片对点 M0(x0,y0,z0) 处质量为 m 的质点的引力(Fx,Fy,Fz)。

    微元 dFx= Gm(ρdσ)(x分量)/r^2 ,其他两个分量类似。

  2. 空间物体

    类比平面薄片,只不过 ρ 是三重积分的 ρ

  3. 光滑曲线

    类比 1 ,只不过密度变为了线密度,积分微元变为线 。

  4. 光滑曲面

    密度变为面密度,积分微元变为面 。