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1. 向量代数

  1. 叉乘不满足结合律

    假设 a,b,c 不共面 :(a×b)×c 和 a×(b×c) ,假设结果都为 d ,由第一个式子知道 d 和 a,b 共面 ;由第二个式子得知 d 和 b,c 共面,所以 a ,b, c 共面,矛盾 。

  2. 叉乘的反对称性

    a×b=-b×a ,右手环绕方向不同,指向固然不同 。

  3. 点积的分配律

    点积分配律利用投影即可证明 a·(b+c) ,b 和 c 分别投影到 a 上 。

  4. 混合积的变换

    (a×b)·c = (b×c)·a = a·(b×c) ,因为混合积代表平行六面体的体积,先×的作为底面积而已 。故可记为 (a,b,c)=(b,c,a)=(c,a,b) ,注意,叉乘顺序不能乱 。

  5. 垂直于三个不共面的矢量只有零矢量(反证法)

  6. 叉乘的分配律(利用前面 5 个规律)

    r·(a×(b+c))=(r×a)·(b+c)=(r×a)·b+(r×a)·c=r·(a×b)+r·(a×c)=r·(a×b+a×c)

    移项合并得 :r·(a×(b+c)-(a×b+a×c))=0 ,由于 r 随意,得

    a×(b+c)-(a×b+a×c) =0,即 a×(b+c) = a×b+a×c

  7. 叉积应用

    一般运用在物理学光学 、计算机图形学 、力学领域 。

  8. 拉格朗日恒等式

    (a×b)×c=(a·c)b-(b·c)a ,假设结果为 d ,显然结果和 a 、b 共面(都垂直于 a×b)。因此可以用 b 和 a 的线性组合表示 。即 (a×b)×c = λa+μb (先证 c=a 时,利用前面条件再证 c 不等于 a 时的情况)。

  9. 利用前面的规律练习(16.1)

  10. 点积的分配律练习和定义式配合使用(16.2)

2. 平面方程与直线方程

  1. 直线的夹角就是方向向量的夹角。求交面式直线的方向向量,利用和法向量垂直得到(也可以叉乘)。(16.3)
  2. 点到直线的距离,叉乘得到平行四边形的面积,然后除以低得到结果 |MM0×s| / |s| (16.4)
  3. 直线和平面的夹角:先求直线和法向的夹角,然后求余角即可。(16.5)
  4. 过直线 L 的平面,首先将直线 L 化为一般式,然后利用平面束的知识构造为 f(x) + λg(x)=0,再多一个条件求出 λ 即可 。(16.6)
  5. 求直线和平面的交点时,利用直线的对称式方程比较简单,最好引入参数 t 。(16.7)
  6. 两个不共线的向量都平行于一个平面,则直接叉乘得到法向量 。(16.8)
  7. 遇到有夹角关系的平面立马想到法向量的点积(16.9)
  8. 给出方程,判断直线和平面的关系(16.10),一般先处理法向量和方向向量的关系
  9. 直线所在平面和曲面相切,先求曲面的切平面方程,然后将直线方程带入切平面方程,然后待定系数法。(16.11)

3. 投影问题

  1. 直线 L 在平面上的投影:其实就是过直线 L 的平面与已知平面垂直的交线 。所以转化为求平面问题,求平面问题又可转化为求法向量问题。(16.12)求向量一般用叉乘。
  2. 投影到 xOy 的曲线,消去 z 得到的方程+ z=0 即可 ,若是柱面,则直接是柱面方程的投影;xOz 和 yOz 类似。(16.13)
  3. 分清投影曲线和投影柱面,曲线是投影面上形成的曲线,柱面是投影过程中形成的面。(16.14)

4. 旋转曲面方程

  1. 绕 z 轴旋转的曲面方程:母线取 M ,纬圆取 P,有 OP=OM,x^2+y^2=x1^2+y1^2,将 x1 和 y1 换成 z1 的关系式,z1=z ,搞定 。如果是参数方程就更简单了(16.15)
  2. 绕 y 轴旋转的曲面,雷同上题,将 y 改为 z 而已 。(16.16)
  3. 直线绕 y 轴旋转的曲面,这就更简单了,注意不要算错(16.17),纬圆的点到原点距离平方公式,结合方程组消去 M 。

5. 参数式的写法

对于一条曲线 L ,先投影到适当的坐标平面上,例如 xOy ,然后求x=φ(t) ,y=ψ(t) ,代回方程求 z=ω(t)

  1. 投影,求参,代回(16.18)
  2. 曲面与平面的交线的参数方程。消去参数,参数化,代回其中一个式子(16.19)
  3. 求椭圆抛物面 S 的参数方程 。有三个未知数的方程,可以化为双参数方程(16.20),引入一个,再引入一个。

6. 几何应用

  1. 曲面在 P 的切面的法向量为 (偏x, 偏y, 偏z) ,带入 P 又有一个等式 。(16.21)
  2. 切平面过已知直线 L :利用点法式将未知点 P 的切平面假设出来,从 L 中取出两点带入未知切面,加上曲面方程,接触 P(16.22)
  3. 空间曲线(参数方程)的切线方程和法平面方程:切线方程用点向式,法平面用点法式(16.23)

7. 方向导数与梯度

  1. 曲面的切平面的法向量为 (偏x,偏y,偏z) ,证明很简单,我们知道曲线的方向向量为 (φ‘ ,ψ’, ω‘) ,而曲线的任意切线都在切平面上,对 F(x,y,z)=0 求导,有

    Fx(x,y,z)φ’+Fy(x,y,z)ψ‘+Fz(x,y,z)w’=0 ,这就是点积呀,得证。

  2. 方向导数=(偏x,偏y,偏z) · 方向余弦 (16.24)

  3. 方向导数和梯度的关系。梯度是最大的方向导数,自然和梯度相反的就是最小的方向导数 。θ 为 Π,cosθ=-1 。z=f(x,y) 的梯度表示 z 变化最快的方向导数 。(16.25-1)

  4. y=f(x,y) 的投影方程的切向量 ,有时候会和梯度联系在一起,因为本质上来说,梯度也是向量,如果两个向量平行,那么 横坐标/纵坐标 相等。 (16.25-2)这里有隐含投影曲线和投影曲面的概念。


习题

  1. 利用关系求未知直线,我喜欢点向式(16.1)

  2. 绕 z 轴旋转的旋转面方程。(16.2)

  3. 直线在平面上的投影。(16.3),若是参数方程在 xOy 上的投影,直接令 z=0 即可,其他两个标准面一样。如果是投影到特定面,求过直线的且与特定面垂直的面的法向量,然后得到交面式即可。

  4. 柱面方程的求法,平行于哪一个轴就去掉哪个变量(16.4)

  5. 梯度的计算公式的运用,(偏x,偏y,偏z),表示最大的方向导数(16.5)

  6. 注意是求法向量还是求单位法向量。(16.6)

  7. 注意,某处的方向导数是一个数值,而不是坐标,梯度才是坐标,方向导数=梯度·方向余弦(16.7)

  8. 一般式的切线方程,点向式,难点在于求方向向量,方向向量也是法平面的法向量。(16.8)

    二阶行列式 (yz ,zx ,xy)

  9. 曲面的切平面以及法线方程,分别用点法式和点向式。(16.9、16.10)

  10. 切平面与某已知平面平行 。法向量相同,求出切点即可,利用法向量的比值相同以及曲面的法向量求解搞定。可能不止一个解(16.11)

  11. 方向导数=梯度·方向余弦 (16.12)

  12. 方向余弦的变化和方向导数的关系(16.13)

  13. 曲线的切线求法,点向式(16.14)

  14. 梯度的概念以及梯度的求法,梯度还可以表示为三个方向向量的线性组合(16.15)