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1. 第二型曲面积分的概念、性质与对称性

1.1 场的概念

从数学上看,场就是空间区域 Ω 上的一种对应法则 。

  1. 如果空间上每一个点都对应一个数量 u ,则在 Ω 上就确定了一个数量函数 u=u(x,y,z) ,表示一个数量场,比如温度场,数量场不讲究方向。

  2. 如果 Ω 上每一点都对应着一个向量 F,则在 Ω 上就确定了一个向量函数

    F(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k

    它表示一个向量场,比如引力场,向量讲究方向 。

1.2 变力沿曲线做功

在一个向量场:变力场中,设某质点在变力 F 的作用下,沿有向曲线从起点 A 到终点 B ,总共做了多少功 ?(这是很好的一个物理背景)

位移微元 dr=dxi+dyj+dzk ,微元下变力近似为常力 ,dW=F(x,y,z)·dr(这里是向量内积) ,积分总功表示为

∫F(x,y,z)·dr=∫(P,Q,R)·(dx,dy,dz)=∫Pdx+Qdy+Rdz

于是引入第二型曲线积分的概念

1.3 第二型曲线积分的概念

第二型曲线积分的被积函数 F(x,y)=P(x,y)i+Q(x,y)j(或F(x,y,z))定义在平面曲线 L(或空间区间 Γ)上,物理背景是变力 F 在曲线 L 上从起点到终点所做的总功 。

显然,前面学的定积分、二重积分、三重积分和第一型曲线积分有完全一致的背景,都是以几何函数在定义域上计算几何量(面积、体积等),但是第二型曲线积分不同,它是一个向量函数沿有向曲线的积分(无几何量可言),于是,有些性质和计算方法都不一样了,要加以区分 。

1.4 第二型曲线积分的存在性

空间曲线 Γ 是分段光滑曲线,一般假设 F 在 Γ 上连续,也就是积分存在 。

1.5 第二型曲线积分的性质

  1. 积分的线性组合

∫(k1F1±k2F2)·dr = k1∫F1·dr ± k2∫F2·dr

  1. 积分的有向性

    从 A 到 B 的积分 = - 从 B 到 A 的积分

  2. 积分的可加性

    从 A 到 B 的积分 = 从 A 到 C 的积分 + 从 C 到 B 的积分(C 是 AB 上的一点)

1.6 对称性

观察 Pdx+Qdy+Rdz ,各个项的积分元素均不同 ,无轮换对称性 。物理背景是做功,有正负之分,与之前的对称性完全不同。

假设 Γ 关于 yOz 面对称,则

P(x,y,z)=-P(-x,y,z) :积半边×2

P(x,y,z)=P(-x,y,z) : 积分为 0

其他对称的情况类比即可。

2. 平面第二型曲线积分的计算

由于空间第二型曲线积分的经典计算方法与第二型曲面积分有着密切的联系 ,故放后面讨论,这里只讨论平面第二型曲线积分的计算问题 。

2.1 直接计算法(参数法)

如果平面有向曲线 L 由参数方程 x=x(t),y=y(t)(t:α→β)给出,其中 t=α 对应起点 A ,t=β 对应着终点 B ,则可以讲平面第二型曲线积分化为定积分 。

∫Pdx+Qdy = ∫(Px’(t)+Qy’(t))dt

上下限无关大小,分别和起点与终点对应 。

2.2 格林公式法

格林公式 :设平面有界闭区域 D 由分段光滑闭曲线 L 围成,P 、Q 在 D 上具有一阶连续偏导,L 取正向,则

∫Pdx+Qdy=∫∫(Q偏x-P偏y)dσ

正向前进时,左手始终在围成的 D 内 。

考试要点:考试题目不可能直接满足使用格林公式的条件。命题人可以 “破坏” 两种条件。

  1. 不是封闭曲线
  2. 即使是封闭曲线,但是 P 、Q 、P偏y 、Q偏x 在 D 上不连续

针对 1 ,采取 “补线法” (P372 注例 1),然后利用对称性化简

针对 2 ,采取 “挖去法” ,将不连续点挖去 。(P372 注例 2)

2.3 平面曲线积分与路径无关的理论

第一组

设 D 是平面有界闭区域,若 P,Q 在 D 上连续,则以下五个条件等价

  1. 沿任意一条全在 D 内的光滑闭曲线 L,有 ∫Pdx+Qdy=0

  2. ∫Pdx+Qdy 在 D 内与路径无关,只与 L 的起点 A 和终点 B 有关

  3. 在 D 内存在可微的单值数量函数 u(x,y) ,使 Pdx + Qdy 是 u(x,y) 的全微分,即 du=Pdx+Qdy

  4. 矢量函数 V=Pi+Qj 为某单值数量函数 u(x,y) 的梯度,即

    grad u=V=Pi+Qj

  5. Pdx+Qdy=0 为全微分方程 。

第二组

设 D 为平面单连通区域,若 P,Q 在 D 上连续且具有一阶连续偏导数,则以下六个条件等价 。

  1. P偏y=Q偏x

  2. 沿 D 中任意分段光滑闭曲线 L ,有 ∫Pdx+Qdy=0

  3. ∫Pdx+Qdy 在 D 内与路径无关,只有 L 的起点和终点有关

  4. D 内有可微的单值数量函数,使得 Pdx + Qdy 是 u(x,y) 的全微分,即 du=Pdx+Qdy

  5. 矢量函数 V=Pi+Qj 为某单值数量函数 u(x,y) 的梯度,即

    grad u=V=Pi+Qj

  6. Pdx+Qdy=0 为全微分方程 。

第三组

设 D 是平面有界区域,P 、Q 在 D 上连续且具有一阶连续偏导数,则给出两个条件 。

  1. ∫Pdx+Qdy 在 D 内与路径无关,只和起末点有关
  2. P偏y=Q偏x 在 D 内处处成立

1 可推 2,但 2 推不出 1 。1 是 2 的充分非必要条件


对比这三组理论

  1. 第一组闭第二组缺少 “D 是单连通区域” 和 “P偏y,Q偏x 在 D 上连续” 这两个条件 。
  2. 平面单连通区域:。。
  3. 全微分方程

3. 第二型曲面积分的概念、性质与对称性

3.1 向量场的通量

在一个向量场(比如电场、磁场或者某种不可压缩流体的速度场)中,Σ 为该场中的某一有向分片光滑曲面,并指定了曲面的外侧,则向量函数 F(x,y,z) 通过曲面 Σ 的通量(比如电场中的电通量,磁场中的磁通量,或者某流体的流量)为 ∫∫F·dS=∫∫F·ndS ,其中 n=(cosα,cosβ,cosγ) 是有向曲面 Σ 在指定侧的单位法向量,且由 dS=(dydz,dzdx,dxdy) ,得

∫∫F·dS=∫∫Pdydz + ∫∫Qdzdx +Rdxdy

3.2 第二型曲面积分的概念

第二型曲面积分的被积函数 F(x,y,z)=Pi+Qj+Rk 定义在空间曲面 Σ 上,物理被积是向量函数 F(x,y,z) 通过曲面 Σ 的通量:

∫∫Pdydz+Qdzdx+Rdxdy

由此可以看出,第二型曲面积分是一个向量函数通过某有向曲面的通量(无几何量可言),要加强和前面所学积分的横向对比,不要用错或者混淆 。

3.3 第二型曲面积分的存在性

空间曲面 Σ 是一有向分片光滑曲面,一般假设 F(x,y,z) 在 Σ 上连续,也就是第二型曲面积分总是存在的。

3.4 第二型曲面积分的性质

  1. 积分的线性组合 ∫∫(k1F1±k2F2)·dS=k1∫∫F1·dS±k2∫∫F2·dS
  2. 积分的方向性:曲面有两侧,方向不同,符号不同
  3. 积分的可加性,一个曲面的积分可以拆成两个曲面的积分求和 。

3.5 对称性

∫∫Pdydz+Qdzdx+Rdxdy 中,由于各个项积分不同,所以第二型曲面积分一般没有轮换对称性(特殊情况下有,例如 ∫∫P(x,y,z)dydx)。

假设 Σ 关于 yOz 面对称则

P(x,y,z)=-P(-x,y,z) :积一半×2

P(x,y,z)=P(-x,y,z) :0

其他情况类比即可

4. 第二型曲面积分的计算

4.1 基础性计算方法 - 化为二重积分

对于第二型曲面积分 ∫∫Pdydz+Qdzdx+Rdxdy ,可以将其拆成三个积分,分别投影到对应的坐标面上,化为二重积分计算,然后再相加,直观上,我们习惯投影 xOy 上,所以以 ∫∫Rdxdy 为例

无论空间曲面 Σ 是由显式 z=z(x,y) 还是隐式 F(x,y,z)=0 给出的,都按三步走

  1. 将 Σ 投影到某一平面(例如xOy)上,投影区域为 D
  2. 将 z=z(x,y) 或者 F(x,y,z) 带入 R(x,y,z)
  3. 将 dxdy 写出 “±dxdy”,其中 Σ 方向为上侧时取 “+” ,否则取 “-“

这就把第二型曲面积分化为了二重积分 ∫∫Rdxdy

4.2 高斯公式法

高斯公式 :设空间有闭区域 Ω 由有向分片光滑曲面 Σ 围成,P,Q,R 在 Ω 上具有一阶连续偏导数,则公式

∫∫Pdydz+Qdzdx+Rdxdy = ∫∫∫(P偏x+Q偏y+R偏z)dv

此外,根据两类曲面积分间的关系,高斯公式也可以表示为

∫∫(Pcosα+Qcosβ+Rcosγ)dS = ∫∫∫(P偏x+Q偏y+R偏z)dv

考试要点 :一般情况,考试题目不可能直接满足能够使用高斯公式的条件,命题人可以 “破坏” 两种条件

  1. Σ 不是封闭曲面,也就是没有围成一个空间有界闭区域 Ω
  2. 即使 Σ 围成了一个空间有界闭区域 Ω ,但是 P,Q,R,P偏x,Q偏y,R偏z 在 Ω 上不连续 。

针对情况 1,采用 “补面法” ,补上一篇或者若干片曲面,围出一个空间有界闭区域 Ω ,就可以用高斯公式了。(P376 注例 3)

针对情况 2,我们可以采取 “挖去法” ,把不连续的点挖去 。(注例 4)

4.3 两类曲面积分的关系与转换坐标变量法

  1. 两类曲面积分的关系

    设 Σ 的法向量的单位向量 n=(cosα,cosβ,cosγ) ,Σ 的面微分向量 dS=(dydz, dzdx, dxdy) ,由于 n // dS ,故 向量 dydx/cosα = dzdx/cosβ = dxdy/cosγ = dS ,于是得到了第一型曲面积分与第二型曲面积分的关系如下

    dydz=cosαdS ,dzdx=cosβdS ,dxdy = cosγdS

    ∫∫Pdydz+Qdzdx+Rdxdy = ∫∫(Pcosα+Qcosβ+Rcosγ)dS

  2. 转换坐标变量法

    转换坐标变量法,是将原本投影在一个坐标平面上的曲面积分,投影到另一个坐标平面上,这里需要建立这种转换的关系 。

    z=z(x,y) 给出,对x偏导,对y偏导,利用这些关系代换方向余弦,利用 1 的比值关系得到等式,例如

    dydz=-zx’dxdy

    所以 dydz 、dzdx 、dxdy 这三个分量并不独立,可以互相转化 。有些第二型曲面积分的计算可以使用这种转换方式,例如 Σ 在 xOy 平面上的投影满足 “投影点不重合” ,就可以将微元全部换为 dxdy 。(注例 5)

5. 空间第二型曲线积分的计算

斯托克斯公式

不想写,有心情再写

就是将线性积分转化为第二型曲面积分形式或者第一型曲面积分形式 。(行列式形式)

6. 散度与旋度的计算

设向量 A=(P,Q,R) ,则

散度 :divA = P偏x+Q偏y+R偏z

旋度 :rotA=某个行列式

它们与梯度再一起,常称为三个度 ,有三个常用公式,设 u 具有三阶 连续偏导数,则

  1. div(grad u) = u二偏x+u二偏y+u二偏z (注例 6)
  2. rot(grad u)=0
  3. div(rot A) = 0