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1. 三重积分

1.1 直角坐标系与柱面坐标系下的计算

  1. 三重积分的计算,一般情况都是直接累次积分,结合极坐标解题(17.1、17.2)

  2. 可以发现计算三重积分难点有:几何理解、积分限的确定以及积分过程(17.3)

  3. 被积函数是椭球,积分区域也是椭球,利用线性组合性质拆分求解(17.4)

    椭圆的面积公式:Π·a·b

1.2 利用球面坐标计算三重积分

  1. 三重积分的难点是公式的表示,其中难在积分限的表示和积分变量的范围。球面坐标中,r 是控制球面的半径的,范围是大于 0 ;θ 是控制球在 xOy 下投影范围,从 x 正方向绕 y 轴正方向旋转的角;剩下的 φ 控制的是俯仰角。球的参数方程在计算机图形学的第一视角中会用到 。(17.5)俯仰角 φ 从 z 轴正方向开始 。

1.3 利用技术性工具计算三重积分

  1. 球的体积微元是 dv=r^2sinφdr (17.6)

1.4 交换积分次序

  1. 和二重积分的交换次序类比,二重积分的次序交换看重平面图形的还原。立体图形的还原困难,但是三重积分的交换次序是两两交换的,局部可以看成是二维图形的次序交换。(17.7)

    y 和 z 交换次序的时候,x 看作常数即可 。

2. 第一型曲线积分

  1. 计算之前一定要先判断对称性,减轻计算负担 。球面的参数中 θ 控制 x 和 y 的角度 。

    曲线的长度微元是参数的导数合成 。(17.8)

  2. 计算前可以利用积分线性组合拆分被积函数,对各部分进行分析,奇函数为 0。当边界方程等于被积函数时,进行代换得到更简单的式子,最后进行形心的转换 。(17.9)线的形心是周长乘以变量 。

  3. 给出线的边界方程,被积函数也是类似的多项式,果断拆(17.10),然后利用几何形状等规则变换,直接化积分为规则计算。单个变量考虑形心,原点考虑对称性。

  4. 点到面的距离,两点距离在法向量上的映射。三点确定一个平面 。(P359 注1),遇到第一型曲线积分的大题(综合题),则需用到:1. 边界方程(曲线方程)带入被积函数 2. 对称性 3. 形心公式 4. 基本计算(累次积分)

3. 第一型曲面积分

  1. 空间对称是 8 倍 。普通对称奇函数为 0 。三棱锥的体积是 1/3·ah ,三边为根号 2 的面积为二分之根号 3 。(17.11)

  2. 曲面的法向量求法(偏导),曲面的面积微元(z偏x导,z偏y导和1 的合成)。曲面面积积分总是利用投影法化为平面二重积分。(投影过程消去 z)椭圆面积=Πab(17.12)。

    遇到平面垂直或平行等问题,都是直接找法向量,这个条件反射很重要 。

4. 重积分与第一型线面积分的应用

  1. 求空间曲面面积,首先找 z=z(x,y) ,利用 1、z偏x,z偏y 的合成的微元进行二重积分计算。(17.13)

  2. 锥面 z=z(x,y) 被柱面所截部分的面积。(17.14)首先求交线,即然说了必然有交线,交线的投影就是积分范围,然后锥面方程 z 的偏导得到积分微元,顺利化为二重积分。

  3. 空间曲面的围成的立方体体积的关键是找出投影曲线 ,首先消去 z ,然后判断 x 和 y 的范围,然后求积分。这个求体积其实和求曲面面积都是消去 y 求二重积分(17.15)

  4. 三重积分的计算,一般先找出投影区域(消去 z),然后先积 z ,得到被积函数 z(x,y) ,进行二重积分即可。这也是求形心的常用方法(17.16)

  5. 密度不规则的球体的重心求法(17.17)积分线性组合、对称性、极坐标转化

    被积函数和积分界都是球体的结果是 4/5ΠR^5

  6. 转动惯量的积分元是 dI=r^2ρdv ,旋转体的体积有时候不需要求,只需要知道积分限即可。(17.18)极坐标下的面积微元是 rdθdr (rdθ 是弧,dr 是长,近似长方形)

  7. 圆柱面对质点引力的积分 。引力公式为 GMm/r^2 ,单位质点的 m 为 1,然后利用对称性简化公式,积分微元是

    dF = ρ·方向分量·dS/r^2

    不管是做什么题,首先判断是求长度、面积还是体积,这样才能对症下药 。曲面的面积都是化成二重积分(投影法,偏导合成)


习题

  1. 遇到求球体的三重积分,一般使用极坐标化简(17.1),记住,求体积的时候技术性工具不包括边界函数替换,因为体积还包含内部区域的所有点,被积函数使用内部的点时并不在边界函数上

  2. 三重积分的工具有对称性和形心公式的运用,三重积分的物理意义就是体积×密度,而体积的意义是要你找到积分限 。(17.2)

  3. 多元函数的驻点可能是极大值或极小值 。条件极值的求法一般采用拉格朗日参数方程 。

    F(x,y,z,λ)=f+λg ,f 是目标函数,g 是条件函数 。求偏导找极值 。

    利用估值定理求不等式(17.3)

  4. 三重积分限的交换方法,利用不等式法,百发百中。(17.4)积分因子大于下限且小于上限,本题中交换 y 和 z 时有(0<z<y ,0<y<x),因此有(z<y<x ,0<z<x);第二次交换有(0<z<x ,0<x<1),故有(z<x<1,0<z<1)

  5. 三重积分的计算。轮换对称性的技巧使用(17.5)变形后记得变回去 。不要将轮换对称性和边界方程的概念弄混淆了(17.5-2)

  6. 有时候体积需要切割成几部分求解。当被积函数只和 z 有关时,直接将 z 分解出来变成累次积分,然后 x 和 y 可以使用多个方法(直角坐标、极坐标)计算,如果转化为极坐标,那就是 ∫dθ∫rdr 。(17.6)

  7. 参数方程的空间曲线质量求解。(17.7),参数方程导数合成后就变成定积分了,太简单。

  8. 直角坐标系下的空间曲线,化为参数方程,然后解题步骤参照 7(17.8)

  9. 在空间曲线上的质量的求法,时刻关注对称性和边界方程代换(17.9)

  10. 空间曲面的质量,一般使用投影将其化为二重积分 。记住:隐函数也可以求偏导,直接求即可。z偏x导就把 y 当常数即可 。偏导用来求微元的 。(17.10)

  11. 空间曲面的质量,如果被积函数是多项式,多想想配凑出对称性和边界方程代换(线性组合拆分)。一次线性方程的平方每一项都是二次方(常数项的话就是常数项的二次方)(17.11)

  12. 抛物旋转面包围的体积计算(17.12-1),投影区域如果是圆,且圆心不在原点,那么 r 的积分限和 θ 必有关系,望君珍惜 。

  13. 极坐标的计算和化简,对称性,r 和 θ 的积分限 。(17.13)还有该死的定积分,多练练。

  14. 平面薄片的重心,平面只有两个方向,直接计算计算即可(17.14)

  15. 形心和积分区域有关,重心多乘了个密度函数,剩下的都是三重积分的技巧。三重积分主要有化累次积分(无关变量分离,同时确定积分限),剩下两个一般要使用极坐标,确定 r 和 θ 的积分限(17.15)

  16. 将积分运用到实际中就算模型了。给定一个方程 F(x,y,z)=0 (z>0),求体积的关键在于找到三个方向的积分限。求侧面积关键在于偏导数的合成在投影面上的二重积分 。极坐标下 sqrt(a+r^2)^(1/2) 的积分很常见,多练习(17.16)

  17. 空间柱面面积的微元是细长的长方形,宽是边界方程曲线的长度,高是准线的长度。(17.17)