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1. 平面第二型曲线积分

  1. ∫(dx,dy)=(∫dx,∫dy) ,等式左边的积分是有向曲线的积分,等式右边的积分是有向曲线两个方向的积分,分别是 x 方向和 y 方向的积分,所以等式右边的积分就相当于定积分的计算了,最后发现结果确实只和起点和终点有关 。这个积分得到的向量的模刚好是位移 。

    ∫ds 中 ds 表示曲线长度微元(只是默认符号)

    u偏xdx+u偏ydy=du ,全微分定义 。几何意义是 x 方向的增长 + y 方向的增长 = 实际的增长 ,全微分可以反过来用(18.1)

  2. 求解曲线变力做功最快的方法是将三个变元变为一个参数的方程,利用定义(∫Pdx+Qdy+Rdz)化简就很简单了 。

    求条件极值一般使用拉格朗日公式 ,H=f+λg ,求 H(x,y,z,λ) 的偏导方程组 。(18.2)

  3. P 、Q满足一阶连续偏导,D 满足有界闭区域 (曲线封闭),则使用格林公式 。不满足就使用补线法和挖去法 。(18.3)

    第二型曲线积分如果 y 和 x 满足 y=f(x) ,带入积分式中就变成了定积分 。上下限是终点和起点的横坐标 。

  4. 使用格林公式后得到的二重积分是可以具有轮换对称性的 。(18.4)

    e^t=1t+1/2t^2+1/3!t^3 +…+ 1/n!t^n(利用麦克劳林公式展开)所以可以得出 e^t+e^-t 中奇数项抵消 。

  5. 二元函数的梯度 grad u =(u偏x, u偏y) ,代表增长最快的向量(向量模表示增长速率)。知道偏导,可以求出混合导 。

    du=Pdx+Qdy ,所以求 u ,可以对坐标的 dx 和 dy 分别积分,别忘了常数 C 。(18.5)

  6. Pdx+Qdy=du ,求 u ,这里会涉及到常微分方程的求解 。(18.6)

    y’+p(x)y=q(x) ,两边同时乘 e^∫p(x)dx ,剩下很简单了,得到解为

    y=e^-∫p(x)dx[∫e^∫p(x)dx·q(x)dx + C] (P227)

  7. 任意封闭曲线的第二型积分为 0 ,说明 :Q偏x-P偏y=0 。(18.7)

    伯努利微分方程:y’+p(x)y=q(x)y^n ,变形

    y^-n·y’+p(x)y^1-n=q(x) (n 不为 0 、1),令 z=y^1-n ,有 dz/dx=(1-n)y^-n·dy/dx ,带入得

    dz/dx + (1-n)p(x)z+(1-n)q(x) (P228)

2. 第二型曲面积分

  1. 微元 dS 的法向量 n 和 向量函数 F 的点积说明 F 通过 dS 的通量 。有向面积微元 dS=(dydz ,dzdx,dxdy) ,可以理解为空间中的一个有向面等于三个方向的面积的合成 。(画个直角三棱锥,(dx,0,0),(0,dy,0),(0,0,dz) 构成,表示三个方向的增长量,增长面积为斜面的 2 倍,利用斜面的两边叉乘即可得到)

    通过曲面的通量,可以分为三个方向的投影分别求解(向量的分解性质),如果曲面和投影面垂直,则该投影方向的通量为零,(相当于向量平行于曲面,自然不通过曲面)。(18.8)正方向投影的为正号,负方向投影的为负号(例如从z轴上方投影到 xOy 的为正),然后计算投影区域为 D 的二重积分 。投影到 xOy 的二重积分需要先将 z 替换掉 。 最后三个投影计算结果相加即可 (因为投影计算结果得到的是标量,例如流量的流量)。

    z=z(x,y) 的无向曲面微元看出平行四边形,面积为两边叉乘 (P328)。

  2. 高斯公式的运用,包括 “补面法” 和 “挖去法” (18.9)

    xdydz+ydzdx+zdxdy 在球里面的第二型曲线积分可化为 ∫∫∫3dv 。(令 P=x ,Q=y ,R=z ,进行高斯公式即可)

3. 空间型第二型曲线积分

  1. 如果三个变量 x,y,z 都可以用单变量的参数方程表示,直接换元变为定积分计算即可(18.10)
  2. 参数法解空间型第二型曲线积分和斯托克斯公式解空间型第二型曲线积分(18.11)

习题

  1. 单连通区域是没有洞的闭区域 。在单连通区域 D 内 ,偏导差为 0 的充要条件是 D 内任意封闭曲线 L 的第二型曲线积分为 0 。(18.1),若没有说明单连通,则是必要非充分条件 。
  2. 平面曲线第二型积分的应用,∫Pdx+Qdy ,F=Pi+Qj
  3. 给出全微分求原函数,这相当于求曲线积分,曲线积分与路径无关,选取好的路径进行积分即可 。(18.3)
  4. 路径无关等价于存在原函数。(18.4)查看混合导是否相等,如果是单连通区域,就满足
  5. 封闭曲线的性质 。(18.5)单连通区域的曲线积分只和点 A 、B 有关 。
  6. 曲面第二型积分其实是两个向量微元的点积,因此这个环节可以使用绝对不等式放缩(18.6)
  7. 空间型第二型曲线积分可以利用斯托克斯公式转化为第二型曲面积分形式,然后利用投影法转化为只关于 dxdy 的二重积分求解 。(18.7)