advanced algebra

basic concepts

学习高等代数之前,要对以下的理论有大概的了解

集合

  1. 定义

    某些确定事物组成的集体称为集合,个体称为元素。

  2. 分类

    有限集合、无限集合、空集。

  3. 集合间关系

    属于,等于

  4. 集合性质

    • 集合内元素无序,唯一,确定。

    • A属于B,B属于C,所以A属于C。

    • A属于B,B属于A,因此A等于B。

  5. 集合运算

    并集

    A的元素+B的元素组成的新集合。

    交集

    A和B共有的元素组成的集合。

    属于A但不属于B的元素组成的集合。

    笛卡儿积

    $A \times B = {(a,b) | a \in A, b \in B}$

映射

  1. 定义

    对于集合A中每一元素x,有集合B中一个唯一确定的元素y与它对应。

    满射

    f是A到B的一个映射,f(A) = B,称f为满射。

    单射

    只有一对一,且B中元素可能有多。

    双射

    一一对应,B中被A射满。也就是既是满射,又是单射。

  2. 映射的合成

    f为A到B的映射,g为B到C的映射,则A到C的映射就是

    $g \circ f: A \rightarrow C$

  3. 可逆映射及其逆映射

    经过f,再经过g,又变回本身,则称g是f的逆映射。

  4. 代数运算

    A×A到A的一个映射称为集合A的一个代数运算。

数学归纳法

  1. 最小数原理

    正整数集合中必有一个最小数。

  2. 数学归纳法原理

    设有一个与正整数n有关的命题,如果

    1. 当n=1时,命题成立;
    2. 假设n=k时命题成立,则n=k+1时命题也成立;

    那么这个命题对于一切正整数都成立。

  3. 第二数学归纳法

    设有一个与正整数n有关的命题,如果

    1. 当n=1时命题成立;

    2. 假设命题对于一切小于k的自然数来说成立,则命题对于k也成立;

    那么命题对于一切自然数n来说都成立。

整数的一些整除性质

  1. 整除

    用符号 a|b表示a整除b,这是a叫做b的一个因数。

  2. 整除的一些性质

    a整除b,b整除c → a整除c、a整除(b+c)、a整除bc

    a整除b,c是整数 → a整除bc

    等等

  3. 带余除法

    设a和b是整数,存在一对整数q和r,使得

    b = aq + r,r > 0且数值比b小

    其中q和r是唯一确定的,分别叫做以a除b所得的商和余数

  4. 最大公因数(不知请百度)

  5. 互素

    最大公约数为1。

  6. 素数

    大于1且公因数只有1和它本身。当然可以带正负号。该性质可以用到加密算法(RSA)。

数环和数域

  1. 数环

    加减乘都在域内。

  2. 数域

    除也在域内的数环。

  3. 性质

    • 设S是一个数环,则0属于S。

    • 设F是一个数域,则0,1属于F。

    • 任何数域都包含有理数域。