algebra

1. 行列式的本质定义(第一种定义)

解释:

将第一行作为一个向量 $\alpha_1 = (a_{11} , a_{12})$ ,第二行作为一个向量 $\alpha_2 = (a_{21},a_{22})$ ,那么根据我们高中学的知识可知

$S = D_2 = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}$

其中 S 是两个向量围成的四边形面积。

当行列式的阶数为 3 时,表示的是 3 维物体的体积。

当行列式的阶数为 n 时,其结果为以这 n 个向量为邻边的 n 维图形的体积。

2. 行列式的性质

  1. 行列互换,其值不变,即 $\mid A \mid = \mid A ^T \mid$
  2. 行列式中某行(列)元素全为零,则行列式为零。
  3. 行列式某行(列)元素有公因子 $k(k\neq 0)$ ,则 k 可提到行列式外面。逆过程称之为 “倍乘” 性质。
  4. 行列式中某行(列)元素均是两个元素之和,则可拆成两个行列式之和
  5. 行列式中两行(列)互换,行列式的值反号。
  6. 行列式中的两行(列)元素相等或对应成比例,则行列式为零。
  7. 行列式中某行(列)的 k 倍加到另一行(列),行列式的值不变。(3 、4 和 6 的结合推导出)

3. 行列式的逆序数法定义(第二种定义)

3.1 排列和逆序

  1. 排列

    由 n 个数 $1,2,3,\cdots,n$ 组成的一个有序数组称为一个 n 级排列,如 23145 是一个 5 级排列, 41352 也是一个 5 级排列,n 级排列共有 $n!$ 个。

  2. 逆序

    在一个 n 级排列 $i_1i_2\cdots i_s\cdots i_t \cdots i_n$ 中,若 $i_s > i_t$ ,且 $i_s$ 排在 $i_t$ 前面,则称这两个数构成一个逆序。

  3. 逆序数

    一个排列中,逆序的总数称为改排列的逆序数,记为 $\tau(i_1i_2\cdots i_n)$ ,如 $\tau(231546) =3$ ,$\tau(621534)=8$ 。由小到大顺排的排列称为自然排序,显然,自然排序的逆序数为 0 。

  4. 奇排列和偶排列

    排列的逆序数为奇数时,该排列称为奇排列;排列的逆序数为偶数时,该排列称为偶排列。

3.2 n 阶行列式的定义

$n(n\ge 2)$ 阶行列式

解释:

这里 $\sum\limits_{j_1j_2\cdots j_n}$ 表示对所有 n 个列下标排列求和,故为 $n!$ 项之和。注意到行下标已经排列,而列下标是任一个 n 级排列,故每一项由取自不同行、不同列的 n 个元素的乘积组成,每项的正负号取决于 $ (-1)^{\tau(j_1j_2\cdots j_n)}$ ,当列下标为奇排列时,应附加负号;当列下标为偶排列时,应附加正号。

4. 行列式的展开定理(第三种定义)

阶数超过 3 阶的行列式,用前面的定义方法计算难免过于复杂,下面提出行列式的展开定理。

4.1 余子式

在 n 阶行列式中,去掉元素 $a_{ij}$ 所在的第 i 行、第 j 列元素,由剩下的元素按原来的位置与顺序组成的 n-1 阶行列式称为元素 $a_{ij}$ 的余子式,记作 $M_{ij}$ ,

4.2 代数余子式

余子式 $M_{ij}$ 乘 $(-1)^{i+j}$ 后称为 $a_{ij }$ 的代数余子式,记作 $A_{ij}$ ,即

$A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$

显然也有 $M_{i+j}=(-1)^{i+j}A_{ij}$

4.3 行列式按某一行(列)展开的展开公式

行列式的值等于行列式的某行(列)元素分别乘其相应的代数余子式后再求和,

行列式的某行(列)元素分别乘另一行(列)元素的代数余子式后再求和,结果为零,即

$a_{i1}A_{k1} + a_{i2}A_{k2} +\cdots + a_{in}A_{kn} =0,i\neq k;$

$a_{1j}A_{1k} + a_{2j}A_{2k} +\cdots + a_{nj}A_{nk} =0,j\neq k.$

5. 几个重要的行列式

5.1 主对角线行列式(上(下)三角形行列式)

5.2 副对角线行列式

5.3 拉普拉斯展开式

设 A 为 m 阶矩阵,B 为 n 阶矩阵,

以上的 12 个行列式为 “基本形” 行列式

5.4 范德蒙德行列式

6. 习题

6.1 行列式的计算

  1. 消零化基本形法

  2. 考试中遇到求行列式是非基本形的,用什么方法?
  3. 爪形行列式如何求解?
  4. 每一行都是 1~n 的循环行列式。
  5. 行列式有很多但是很离散的零的行列式

  6. 加边法

    有些行列式一开始可能不易使用 “倍乘” 、“互换” 和 “倍加” 等性质,这时候可以给行列式进行升维。将 n 阶行列式升至 n+1 阶行列式。在第一列添加 $[1,0,0,\cdots,0]^T$ ,第一行随便构造。

  7. 数字归纳法和递推法

    对行列式进行观察得到 $D_{n+1}$ 和 $D_n$ 的递推式。

  8. 用范德蒙德行列式

6.2 余子式和代数余子式的线性组合的计算

7. 习题答案

7.1 行列式的计算

  1. 消零化基本形法
    1. 利用展开定理化为多个基本形相加。
    2. 将第一行元素化为零就可转化为基本形求解。
    3. 累加降维,重复 n 次。
    4. 经过行列交换等基本变化将零集中到一起,然后利用拉普拉斯变化即可。