geometry

vector

向量既有方向,又有大小。利用向量的运算来研究图形性质的方法称为向量法,它的优点在于比较直观,并且它在力学、物理学种也有重要的应用。在解析几何中,常常把向量和坐标法结合起来用。

概念

  1. 向量

    既有大小,又有方向的量称为向量。长度为零的向量称为零向量,长度为1的向量称为单位向量。

  2. 向量加法

    符合三角形或者平行四边形法则,满足结合律、交换律。

  3. 向量数乘

    一个标量和向量相乘后还是向量,长度发生改变。

  4. 线性运算

    向量的加法和数乘统称为向量的线性运算。

  5. 向量共线

    向量的方向相同或者相反。

仿射坐标系和直角坐标系

向量法的优点在于比较直观,但是向量的运算不如数的运算简介,为了取长补短,我们给向量引进它的坐标,同时给点也引进它的坐标,把向量法和坐标法结合起来使用。

  1. 仿射坐标系

    空间中任意给定三个不共面的向量e1, e2, e3,则任意一个向量m可以唯一表示成e1, e2, e3的线性组合。若三个向量都起于同一个点O,则其终点也可以确定,因此,空间中的一个点 O 和一组基 e1, e2, e3 合在一起称为空间的一个仿射坐标系。

  2. 直角坐标系

    如果仿射坐标系的基两两垂直并都是单位向量,则称为直角坐标系,因此直角坐标系是特殊的仿射坐标系。

  3. 向量表示

    在直角坐标系中,向量可以用终点坐标减起点坐标表示。

  4. 向量加法

    在直角坐标系中,向量相加等于其坐标相加。

向量内积

  1. 射影

    可以理解为向量A在B上的投影,我们也称为是B向量方向上的分量。正常理解的射影是内射影,外射影是垂直于内射影的另一个分量。

  2. 向量的内积

    内积的理解可以参照物理中的功的定义,结果是标量,用 · 表示。

    a·b=|a|×|b|×cos<a,b>
    
  3. 直角坐标系下的内积

    两个向量的内积等于它们的对应坐标的乘积之和。

  4. 方向角和方向余弦

    一个向量 a 与直角坐标系的基向量e1, e2, e3 所成的角 α,β,γ 称为向量 a 的方向角,把方向角的余弦值称为向量 a 的方向余弦。方向余弦的平方和等于 1。

向量外积

  1. 力矩原理

    从力学中知道,作用在A点上的力F关于支点 O 的力矩 M 的大小为

    |M|=|F|×|OA|×sin<F,OA> 
    

    OA是向量。

    力矩 M 的方向:让右手四指从 OA 弯向 F(转角小于π),则拇指指向 M 的方向。

  2. 向量外积定义

    |a×b|=|a|×|b|×sin<a,b>
    
  3. 几何意义。

    给出向量 a 和 b,我们可以求出所在平面的法向量,法向量方向为正面,逆时针旋转。这在计算机图形学上经常用到。同意你可以发现,外积大小其实就是向量 a 和 b 构成的平行四边形的面积。

  4. 向量外积的外射影

    和内积的外射影一样。

  5. 向量外积的运算规律

    满足 “反” 交换律、分配律。

  6. 右手直角坐标系下向量的外积

    向量(a1, a2, a3),(b1, b2, b3)的外积可以先转化为单位向量的表示,然后利用运算规则得到其外积为

    (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)
    

    该向量的大小就是平行四边形的面积。

  7. 三向量的外积

    a×(b×c)=(a·c)b-(a·b)c
    

向量的混合积

计算几何体的体积可以归结为计算平行六面体的体积。

V=|(a×b)·c|
  1. 向量混合积

    a × b · c 称为向量 a,b,c 的混合积。

    若 a × b · c < 0,则(a,b,c)构成左手坐标系。因此正负可判断(a,b,c)是右手系还是左手系。

  2. 三个向量共面的充分必要条件

    a×b·c=0
    

    也就是六面体体积为0。

  3. 常用性质

    a×b·c=b×c·a=c×a·b
    a×b·c=a·b×c
    
  4. 坐标下的混合积

    以a,b,c 为棱的平行六面体的定向体积等于以这三个向量的右手直角坐标为列组成的三阶行列式。这是三阶行列式的几何意义。

  5. 四点共面的充要条件

    四阶齐次矩阵的行列式等于0(四个点的第四维是1,矩阵的每一列为一个点的坐标),我终于知道为什么 opengl 要使用四阶了,运算多简单啊。

  6. 拉格朗日恒等式

    拉格朗日恒等式被人们称为是二维的勾股定理。因为它可以证明三直角棱锥的斜面的平方等于其他三个面的面积的平方之和。

  7. 球面三角的应用

    球面上的三个点连接起来形成的三角形。我们可以利用向量法求出余弦公式和正弦公式。