geometry

planes and lines in space

我们将前面讲的坐标法和向量法结合起来研究空间中平面和直线的方程以及它们的性质。

仿射坐标系中平面的方程,两平面的相关位置

  1. 平面的确定

    三个不共线的点可以确定一个平面,因此我们可以用在同一起点的两个不共线的向量来确定一个平面。

  2. 三向量共面的情况

    一个向量可以被其他两个向量线性表示

  3. 表示一个平面

    ax+by+cz+d=0
    
  4. 两平面的相关位置

    • 相交于一条直线

      一次项系数不成比例。

    • 平行

      一次项系数成比例,常数不相同于该比例

    • 重合

      所有系数成比例

直角坐标系中平面的方程,点到平面的距离

  1. 平面法向量

    平面一确定点(x0, y0, z0),设任意点为(x, y, z),法向量为(a,b,c),则

    a(x-x0)+b(y-y0)+c(z-z0)=0
    

    由此可见,直角坐标系中,平面方程的一次项系数是这个平面的一个法向量的坐标。

  2. 点到平面的距离

    垂线段的长度可以利用单位法向量和斜线的内积求得距离。

  3. 三元一次不等式的几何意义

    • =0,在平面上
    • >0,在平面一侧
    • <0,在平面另一侧
  4. 两个平面的夹角

    两个平面夹角的余弦值等于其法向量的夹角的余弦值。法向量就是系数(A,B,C)。进而求出平面夹角。

直线的方程,直线、平面间的相关位置

  1. 直线的方程

    一个点和一个向量就可以确定一条直线。标准方程为

    (x-x0)/X = (y-y0)/Y = (z-z0)/Z
    

    其中 (X,Y,Z) 是直线的方向向量。

  2. 两条直线的相关位置

    • 重合

      平行且有公共点。

    • 平行

      一个向量用另一个向量线性表示。

    • 异面

      不平行且无交点。

  3. 直线和平面的相关位置

    • 平行

      平面法向量和直线垂直 & 直线有一个点不在平面上。

    • 相交

      平面法向量和直线不垂直。

    • 直线在平面内

      平行且直线和平面有交点。

点、直线和平面之间的度量关系

在右手直角坐标系中讨论。

  1. 点到直线的距离

    利用直线中的一点和目标点形成一个向量,与直线的方向向量做叉乘可得答案。

  2. 两条直线之间的距离

    • 相交直线

      距离为零。

    • 平行直线

      任一点到另一条直线的距离。

    • 异面直线

      公垂线段的长度。

  3. 两条直线的夹角

    利用直线的方向向量点积求解。

  4. 直线与平面之间的夹角

    小于九十度。利用平面法向量和直线的方向向量点积求解。