geometry

cured surface

了解曲面的几何特性,利用方程研究曲面的几何性质。

球面和旋转面

  1. 球面的普通方程

    球面任一点到球心的距离等于一个定值。此为普通方程。

  2. 球面的参数方程

    利用经纬度和半径建立参数方程。

  3. 曲面的普通方程

    根据球面普通方程归纳,曲面的普通方程是一个三元方程。

  4. 曲面的参数方程

    根据球面参数方程归纳,曲面的参数是含有两个参数的方程。

  5. 曲线的普通方程

    两个曲面的交线就是曲线,因此可以用两个曲面的方程表示曲线。

  6. 旋转面及其方程

    一条曲线(母线)绕一条直线(轴)旋转得到的曲面称为旋转面。旋转面上取一纬圆,必有一点过母线,再从直线上取一点,那么纬圆上的点都可以利用这两个点建立关系。

    • 距离关系
    • 纬圆上两点连线和轴垂直

    然后消去假设参数得到方程。

柱面和锥面

  1. 一条直线(母线)沿着一条空间曲线(准线)平行移动时所形成的曲面称为柱面。

    例如圆柱面是一条直线绕着圆移动形成。

  2. 圆柱面

    利用横切圆中的两点到轴的距离相同,且两点连线与轴垂直的关系求得。

  3. 柱面方程的特点

    母线平行于z轴的圆柱的方程中不含 z(其他轴类比),反之也成立。

  4. 其他柱面

    准线可能为椭圆、双曲线。

  5. 锥面方程的建立

    由一个曲线(准线)上的点与不在 C 上的一个定点的连线组成的曲面称为锥面。

    准线上必有一点在所求点和顶点的连线上。

  6. 圆锥面

    准线是圆。

  7. 锥面方程的特点

    x,y,z 的齐次方程表示的曲面一定是以原点为顶点的锥面。

二次曲面

前面学过椭圆柱面,双曲柱面和抛物柱面,现在继续研究几个二次方程表示的图形。

  1. 椭球面

    可以理解为曲面上的点沿三条轴进行不同程度的放缩。

  2. 单页双曲面和双叶双曲面

    其实是双曲线沿不同的轴旋转产生的结果。

  3. 椭圆抛物面和双曲抛物面

    • 抛物线在椭圆上运动形成椭圆抛物面
    • 抛物线在双曲线上运动形成双曲抛物面。(形如马鞍)
  4. 二次曲面的种类

    • 椭球面
      • 椭球面
      • 虚椭球面
    • 双曲面
      • 单页双曲面
      • 双叶双曲面
    • 抛物面
      • 椭圆抛物面
      • 双曲抛物面
    • 二次准面
      • 二次锥面
    • 二次柱面
      • 椭圆柱面
      • 虚椭圆柱面
      • 直线
      • 双曲柱面
      • 一对相交平面
      • 抛物柱面
      • 一对平行平面
      • 一对虚平行平面
      • 一对重合平面

二次曲面只有这十七种。

直纹面

柱面和锥面都是由直线组成的,这样的曲面称为直纹面。由一族直线组成的曲面称为直纹面。二次柱面(九种)和二次锥面(一种)都是直纹面。椭球面不是直纹面,因为是有界的。双叶双曲面不是直纹面。椭圆抛物面不是直纹面。单页双曲面和双叶双曲面都是直纹面。

曲面的交线,曲面所围成的区域

  1. 斜二测法

    z 轴朝上,y 轴朝右,x 轴与其他两轴成 135 度。这种作图简单,但是正二测法比较作图比较真实。

  2. 曲线在坐标面上的投影,曲面的交线的画法

    空间中任一点 M 以及它在三个坐标面上的投影点这四个点中,知其二求另二。

  3. 曲面所围成的区域的画法

    关键是要画出相应曲面的交线,随之,所求区域也就表示出来了。