geometry

coordinate conversion

前面学习都是在一个坐标系中研究平面、直线和曲面。很多情况下,一个图形的方程比较复杂,我们可以选择另一个合适的坐标系,使这个图形的方程变得比较简单。为此就需要研究同一个点在两个坐标系中的坐标之间的关系,这样的关系式称为坐标变换公式。

平面的仿射坐标变换

  1. 点的仿射坐标变换公式

    任意一点的坐标可以表示为另一个坐标系的坐标的一次多项式。利用向量的三角形定则构造求和关系式。

  2. 平面上点的仿射坐标变换公式中的系数行列式不等于零,因为系数是坐标系的基。

  3. 向量的仿射坐标变换公式

    点的仿射坐标变换公式已知,而向量坐标可以用点的坐标表示,证明略。

矩阵及其运算

  1. 矩阵概念

    为了坐标变换公式易于记忆并且简化计算和证明,我们引入矩阵来处理数据。s行n列的数字称为一个 s*n矩阵

  2. 元素全零为零矩阵。

  3. 矩阵加法

    对应元素相加。

  4. 矩阵数乘

    对应元素乘于一个参数。

  5. 矩阵乘法

    A 的第 i 行和 B 的第 j 列乘积求和。

  6. 系数矩阵

    很多时候可以把系数整理为系数矩阵,坐标变换称为系数矩阵。

  7. 单位矩阵

    主对角线为1,其余为0的单位矩阵。

  8. 矩阵装置

    行列互换。

  9. 矩阵分块

    将一个矩阵看成由若干个小矩阵组成,称为矩阵的分块。这样可以使得矩阵的结构更加明显清楚,并且使矩阵的运算可以通过·这些小矩阵进行,从而可以简化矩阵的计算和证明。

  10. 方阵的行列式

    对一个矩阵的数据进行一种特殊运算得到的一个值。行列式非零称为非奇异的。

  11. 可逆矩阵

    可逆矩阵在求反解的过程中起到很大的作用,一个矩阵可逆的充要条件是该矩阵为非奇异方阵。

  12. 正交矩阵

    一个矩阵乘于它的转置矩阵等于单位矩阵,称之为正交矩阵。A是正交矩阵的充要条件是A的每一行元素的平方和等于1,每两行对应元素的乘积之和等于零。

平面直角坐标变换

一般来说,我们喜欢在直角坐标系上做几何,因为直角有很大特殊的性质,仿射变换的性质在平面直角坐标系下都成立。

  1. 直角坐标变换公式

    一个过渡矩阵。

  2. 平面直角坐标系的过渡矩阵式正交矩阵。

  3. 直角坐标变换中方的过渡矩阵

    很常见的一个三角函数方阵。

  4. 两坐标系同向的充要条件是过渡矩阵等于1,反之为-1。

  5. 移轴公式

    两坐标系角度不变,只是原点改变。

  6. 转轴公式

    过渡矩阵是一个三角函数阵。

空间坐标变换

  1. 仿射坐标变换公式

    类比平面坐标系。

  2. 仿射坐标系的过渡矩阵A是非奇异的,因为三个基向量两两不共线。

  3. 如果两个坐标系都是直角坐标系,那么过渡矩阵是正交矩阵。

  4. 直角坐标变换

    Ⅰ到Ⅱ的过渡矩阵是正交矩阵。

  5. 证明

    在右手直角坐标系 [O, e1, e2, e3] 中,方程 f(2x+y-3z, x-2y)=0 表示的图形是柱面,并求出它的母线方向和一条准线的方程。

  6. 若图形 S 在仿射坐标系Ⅰ中的方程 F(x,y,z)=0的左端是x,y,z 的n次多项式,则S在任意一个仿射坐标系 Ⅱ 中的方程G(x1, y1, z1)=0的左端是x1,y1,z1的n次多项式。