theory of numbers

作业

  1. 设 M 是一个由整数组成的集合,若 M 有上界,即存在整数 a 使对所有的 $m \in M$ ,有 $m \le a$ ,那么,必有 $m_0 \in M$ ,使对所有的 $m\in M$ 有 $m\le m_0$ 。
  2. 设 $a\ge 2$ 是给定的正整数。证明:对任一正整数 n 必有唯一的整数 $k\ge0$ ,使 $a^k\le n < a^{k+1}$ 。

例题

  1. 设 M 是一个由整数组成的集合,若 M 有上界,则集合中一定存在一个最大的整数。
  2. 设 $a \ge 2$ 是给定的正整数,证明:对任一正整数 n 必有唯一的整数 $k \ge 0$ ,使 $a^k \le n < a^{k+1}$。

背景知识

  1. N 表示全体正整数,Z 表示全体整数。

  2. 整数集合内可以做加法、减法和乘法,我们称之为数环。

  3. 归纳公理:设 S 是 N 的一个子集,满足条件: ① 1∈ S;② 如果 n ∈ S,则 n+1 ∈ S, 那么,S = N。

  4. 数学归纳法(利用归纳公理推倒)

    设 P(n) 是一个关于自然数 n 的一个命题。

    1. 当 n=1 时,P(1) 成立。

    2. 由 P(n) 成立可以推出 P(n+1) 成立。

    那么,P(n) 对所有自然数 n 成立。最小自然数原理。

  5. 最小自然数原理:某个正整数集合 T 中必有一个最小整数 $t_0$ 。证明如下

    1. 集合 S :$s \le t, s \in S, t\in T$
    2. 若 $t_1 \in T$ ,则 $t_1 +1 \notin S$ 。
    3. 结合 1 和 2,说明存在 $s_0$ ,使得 $s_0 +1 \notin S$ 。(反正:假设 S 有 n 个数(S至少有上界 $t_1$),又因为都可以 + 1,必然 n 次之后得到最后一个数字,也就是最大的数 $s_0$ ,$s_0 + 1$ 必然就不在 S 中了。)
    4. 由前面 3 点得到 $s_0 \in T$ ,取 $t_0 = s_0$ 即可。因为若 $s_0$ 不属于 T,则 $t > s_0$ (由 1 得),则 $t \ge s_0+1$ ,与 3 矛盾。
  6. 最大自然数原理

  7. 盒子原理