the theory of numbers

作业

实例

  1. 证明:$(a,[b,c])=[(a,b),(a,c)]$

  2. 对 $a=180=2^2\cdot 3^2 \cdot 5$ ,我们有

    $\tau(a)=(2+1)(2+1)(1+1)=18$

背景知识

  1. 设 p 是素数,$p \mid a_1a_2$ ,那么,$p \mid a_1 $ 或者 $p\mid a_2$ 至少有一个成立,该结论可拓展。

  2. 算术基本定理

    设 a>1,那么必有 $a=p_1p_2\cdots p_s$ ,其中 $p_j, (1 \le j \le s)$ 是素数,且在不计次序的意义下,式子唯一。

    证明唯一性 :反证法、假设存在另一个序列,然后序列相同。

    将相同的素数合并,得到 称之为 a 的标准素因数分解式

  3. d 是 a 的正除数的充要条件是

  4. 最小公倍数和最大公约数也可以用标准素因数方解式表示,对应指数范围不写,自证。

  5. 若 $(a,b)=1,ab=c^k$ ,则 $a=u^k,b=v^k$ 。(利用算术基本定理展开)

  6. 设 a 是正整数,$\tau(a)$ 表示 a 的所有正整数的个数(通常称为除数函数),若 a 有标准素因数分解式,则

    $\tau(a)=(\alpha_1+1)\cdots(\alpha_s+1)=\tau(p_1^{\alpha_1})\cdots\tau(p_s^{\alpha_s}).$