the theory of numbers

作业

  1. 求 $32!$ 的素因数分解式

    32 以内的素数有 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,我从 29 开始算次数

    $\alpha(29,32)=[\frac {32} {29}] = 1$

    $\alpha(23,32)=1$ ,接下来,19,17 都是 1,13,11 是 2,7 是 4 ,我们看 5

    $\alpha(5,32)=[\frac {32} 5] + [\frac {32} {25}] = 6+1=7$ 就这样一直算下去,好了不说了,我要洗澡了。

  2. 设 p 是素数,n 是正整数

    1. 求 $p^e \parallel (2n)!!$ 中 $e$ 的计算公式,这里

      $(2n)!! = (2n)(2n-2)\cdots2;$

      $(2n)!!=2^n\cdot n!=2^n \cdot \prod\limits_{p\le n}p^{\alpha(p,n)}$

      若 p =2,则 $e =n+\alpha(2,n)$ ,否则 $e=\alpha(p,n)$

    2. 求 $p^f \parallel (2n-1)!!$ 中的 $f$ 的计算公式,这里

      $(2n-1)!!=(2n-1)(2n-3)\cdots1.$

      $(2n)!=\prod \limits_{p\le 2n}p^{\alpha(p,2n)}$

      若 p =2,e=0 ,否则 $e=\alpha(2,2n)-\alpha(2,n)$

实例

  1. 求 $20!$ 的标准素因数分解式。

    不超过 20 的素数有 2,3,5,7,11,13,17,19,根据背景知识 3 得

    $\alpha(2,20)=[20/2]+[20/4]+[20/8]+[20/16] = 10+5+2+1=18$

    然后分别求其他的 $\alpha$ ,然后利用背景知识 4,得到答案,当然考试不需要最终结果。

  2. $20!$ 的十进位表示中结尾有多少个零?

    看展开式中乘了多少个 10 即可。也就是求 $10^k \parallel 20!$ 中的 k。

  3. 设整数 $a_j>0,(1\le j \le s),n=a_1+a_2+\cdots + a_s$ ,证明;

    $n!/(a_1!a_2!\cdots a_s!)$

    tips: 只需证明 $\alpha(p,n)\ge \alpha(p,\alpha_1) + \alpha(p,\alpha_2)+\cdots + \alpha(p,\alpha_s)$

    显然 $[n/p^j] \ge [a_1/p^j] + [a_2/p^j]+ \cdots +[a_s/p^j]$

  4. 证明 m 个相邻整数的乘积可被 $m!$ 整除。

背景知识

利用符号 $[x]$ 给出 n! 的标准素因数分解式的公式。

  1. $n!=p_1^{\alpha_1}\cdots p_s^{\alpha_s}$

  2. $a^k\parallel b$ :b 恰被 a 的 k 次方整除,即

    $a^k \mid b, a^{k+1} \nmid b$

  3. 设 n 是正整数,p 是素数,再设 $\alpha=\alpha(p,n)$ 满足 $p^\alpha \parallel n!$ ,那么 右边其实就是一个有限和,因为有上限。

  4. 设 n 是正整数,我们有