theory of numbers

作业

  1. 若 $f(n)$ 是积性函数,则 $f(m)f(n)=f((m,n))f([m,n])$

    证:设 $[m,n]=p_1^{\alpha_1}\cdots p_r^{\alpha_r}$ ,$(m,n)=p_1^{e_1}\cdots p_r^{r_r}$

    由于积性函数有 $f(n)=f(p_1^{\alpha_1})\cdots f(p_r^{\alpha_r})$ ,对 m,n 展开成算术基本定理式拆分即可。

  2. 若不恒为零的积性函数 $f(n)$ 在 n=-1 有定义,则 $f(-1)=\pm1$

    $f(1)=f(-1)f(-1)$ 且 $f(1)=f(1)f(1)$ 解出即可。

  3. 正整数 m 是完全数的充要条件是 $\sum\limits_{d \mid m}1/d=2$

    由实例 4 可知 $\sum\limits_{d \mid m} 1/d=\frac 1 m\sigma(m)=2$

    即 $\sigma(m)=2m$ 除去本身就是 m 了,说明 m 是完全数。

  4. 整数 n 是素数的充要条件是 $\sigma(n)=n+1$

    必要性易证,充分性利用反证法。

  5. 求 $\lbrace1,2,\cdots,n\rbrace$ 中与 n 互素的数之和。

    $S(n) =\sum\limits_{(d,n)=1,d<n}d = \sum\limits_{d < n} d \cdot I(d,n) $

实例

  1. 设 $n=p_1^{\alpha_1}\cdots p_r^{\alpha_r}$ ,定义在 N 上的数论函数

    显见,$w(n)$ 是 n 的不同的素因数的个数,$\Omega(n)$ 是 n 的全部素因数(按重数计)的个数,这两个函数是否为积性?由他们可引入另外两个数论函数

    $\upsilon(n)=(-1)^{\omega(n)},n\ge 1$

    $\lambda(n)=(-1)^{\Omega(n)},n\ge 1$

    $v(n)$ 是积性函数,但不是完全积性的。$\lambda(n)$ 则是完全积性函数它称为 Liouville 函数

  2. 设 $d\in Z$ 。证明如下函数是完全积性的

  3. 设 $n\in N,\sigma(n)$ 表示 n 的所有正除数之和,证明:$\sigma(n)$ 是积性函数,当 $n>1$ 时 $\sigma(n)$ 称为除数和函数。

    tips:利用 $n=p_1^{\alpha_1}\cdots p_r^{\alpha_r}$ 替代,利用组合数求和即可。

  4. 设 n 是正整数,求 $\sum\limits_{d\mid n} \frac 1 d$

    $\sum\limits_{d \mid n}\frac 1 d=\sum\limits_{d \mid n}\frac 1 {(n/d)}=\frac{1}{n}\sum\limits_{d\mid n}d=\frac 1 n \sigma(n)$

    这里 $\sigma(n)$ 的求法看例子 3。

背景知识

自变量为整数,因变量为复数的数列称为数论函数算术函数

  1. 积性函数

    m,n 属于整数集合 D,且

    $f(mn)=f(m)f(n),(m,n)=1$

    则 $f(n)$ 称为时积性函数

  2. 完全积性函数

    $f(mn)=f(m)f(n)$ ,但是不要求 $(m,n)=1$

  3. 两个(完全)积性函数之积及商(分母恒不为零)都是(完全)积性函数。

  4. 设 $f(n)$ 是不恒为零的数论函数,$n=p_1{\alpha^1}\cdots p_r^{\alpha_r}$

    $f(n)$ 是积性函数的充要条件是

    $f(1)=1$ 及 $f(n)=f(p_1^{\alpha_1})\cdots f(p_r^{\alpha_r})$

    $f(n)$ 是完全积性的充要条件是

    $f(1)=1$ 及 $f(n)=f^{\alpha_1}(p_1)\cdots f^{\alpha_r}(p_r)$

  5. 设 $f(n)$ 是不恒为零的积性函数,那么 $F(n)=\sum\limits_{d \mid n}f(d)$ 也是积性函数。