the theory of numbers

这里讨论二次不定方程:$x^2+y^2=x^2$ 。

作业

  1. 求出一边长为①15;②22;③50 的所有商高三角形、所有本原商高三角形。

    分三种可能:$n=r^2-s^2$ 、$n=2rs$ 、$n=r^2+s^2$ 。

    偶数直接选第二个,奇数选第一或者第三个。例如 15 是奇数,选第一或第三

    $15=3(2^2+1^2)$

    $15=8^2-7^2=4^2-1^2=5(2^2-1^2)=3(3^2-2^2)$

    如果是求 22 的所有商高三角形,需要判断 $2rs=2111$ 。

  2. 对怎样的正整数,不定方程 $x^2-y^2=n$

    1. 有解

      先从左到右:利用奇偶性分类讨论得到 $4\mid n$ 或者 $2\nmid n$ 。

      从右到左:$x=k+1,y=k-1$ 或 $x=k+1,y=k$

    2. 有满足 $(x,y)=1$ 的解,并对 n=30,60,120 判断这方程是否有解;有解时求出它的全部解,及全部满足 $(x,y)=1$ 的解,进而,提出一个求解这不定方程的方法。

      显然 30 无解,我们看 60 的。$(x-y)(x+y)=60$ ,若对应的 x 和 y 都是偶数,所以可以变为求解 $(x-y)(x+y)=15$ ,然后得到的解乘 2 即可。显然这里的 x,y 都不互素。

      看 120,满足 4 的倍数,除以 4 之后得到 30,反而无解,原因出在 120 是 8 的倍数,此时 x 和 y 都是奇数,这里证明一下,令 $x=2k_1-1,y=2k_2-1$ 带入方程得

      $(x-y)(x+y)=(2k_1-2k_2)(2k_1+2k_2-2)=4(k_1-k_2)(k_1+k_2-1)$

      不论 $k_1,k_2$ 取什么值都是 8 的倍数。

      综上所述,$2\nmid n$ (k+1和k)或 $8\mid n$ (2k+1和2k-1)时有本原解。

      令 $n=n_1n_2,n_1=x-y,n_2=x+y,2 \mid n_1+n_2$ 得到方程的解。

实例

  1. 求出 $r\le 7$ 时的方程的全部本原解。(利用背景知识 2)

  2. 求 z=65 的二次不定方程的全部解。(先显然解,然后非显然解)

    由背景知识 2 可知本原解为 $r^2+s^2$ ,非本原解只需要乘个倍数为 $k(r^2+s^2)$ ,k 从 1 开始找,然后把 r 和 s 求出来即可,相应的 x 和 y 也就求出来了。

背景知识

这里讨论二次不定方程:$x^2+y^2=x^2$ 。

满足 $xyz=0$ 的解称为显然解,$xyz \neq 0$ 的解称为非显然解 。为了求出全部非显然解,只要求满足以下条件的解

$x>0,y>0,z>0,(x,y,z)=1$

也就是既约(互素)的正解 $x,y,z$ ,这样的解称为本原解。

  1. 本原解 $x,y,z$ 必满足以下条件

    $(x,y)=(y,z)=(z,x)=1$ (反证法)

    $2 \nmid x+y$ (同偶是不可能了,前面式子说明了),下面证明 x 和 y 不可能都为奇数。

    反证法,假设 x 和 y 都是奇数,则 $4 \nmid x^2+ y^2 = (x+y)^2 - 2xy $ ,但是 $4 \mid z^2$ 矛盾。

  2. y 为偶数的全体本原解由以下公式给出

    $x=r^2-s^2,y=2rs,z=r^2+s^2$

    其中 r,s 为满足以下条件的任意整数:

    $r>s>0,(s,r)=1,2\nmid r+s$

  3. 商高三角形是边为整数的直角三角形。

  4. 三条边既约的商高三角形称为本原商高三角形

  5. 两边同时除以 $z^2$ ,得到 $\delta^2+\eta^2=1$ ,等价于求方程的有理数解。相当于求单位圆周上坐标为有理数的点。

  6. 不定方程 $x^4+y^4=z^2$ 无 $xyz\neq 0$ 的解。(利用 Fermat 无穷递降法

  7. 不定方程 $x^4+y^4=z^4$ 无 $xyz\neq z^4$ 的解。

  8. 当 $n\ge 3$ 时,不定方程 $x^n +y^n=z^n$ 无 $xyz\neq 0$ 的整数解,这通常称为 Fermat Last Theorem ,这是费马诸多定理中唯一一个没有被证明或否定的。

  9. 不定方程 $x^2+y^2=z^4$ 的满足条件 $(x,y)=1$ 的全部正整数解是

    $x=\mid 6a^2b^2-a^4-b^4\mid$ ,$y=4ab(a^2-b^2),z=a^2+b^2$

    $y=\mid 6a^2b^2-a^4-b^4\mid$ ,$x=4ab(a^2-b^2),z=a^2+b^2$

    其中 $a,b$ 为满足以下条件的任意整数

    $a>b>0,(a,b)=1,2\nmid a+b$