the theory of numbers

作业

  1. 证明:对任意实数 x 有 $[x]+[x+1/2]=[2x]$

    等价于 $[1/2 +\lbrace x\rbrace ]=[2\lbrace x\rbrace]$ ,然后分类讨论

  2. 证明:对任意实数 x,y 有

    $[x-y]\le [x]-[y]\le [x-y]+1$

    $[x-y] =[x]-[y] + [\lbrace x\rbrace-\lbrace y\rbrace]$ ,得证

  3. 证明:对任意实数 x,y 有 $\lbrace x+y\rbrace \le \lbrace x\rbrace + \lbrace y \rbrace.$

    整数部分都被舍去了,这不废话吗。

实例

  1. 设 a,b 是整数,$a\ge 1,b=qa+r,0\le r < a$ ,证明:

    $q=[b/a],r=a\lbrace b/a\rbrace$

    tips:$r/a$ 是小数,且 $b=a[b/a]+a \lbrace b/a\rbrace$

背景知识

  1. 设 x 是实数,$[x]$ 表示不超过 x 的最大整数称之为 x 的 整数部分

    $\lbrace x\rbrace=x-[x]$ ,称为 x 的小数部分。

  2. 平面上坐标为整数的点称为整点格点

  3. $[-x]$ 表示向向左取整,例如 $[-2.5]$ 表示 $-3$。其实可以理解为不超过 $-x$ 的整数。

    $\lbrace-x\rbrace$ 表示 $-x$ 与 $[-x]$ 的差值。例如 $\lbrace -2.7\rbrace$ 等于0.3。