the theory of numbers

本节讨论正整数集合${1,2,\cdots,m}$ 中与 m 互素的整数。

作业

  1. 设 $f(n)=\sum\limits_{d\in A}d$ ,其中 $(d,n)=1,n>1(n\in Z)$ ,求 $f(n)$ 。

例子

  1. 证明:必有无穷多个正整数 n,使得 $3 \nmid \phi(n)$

背景知识

  1. Euler 函数 φ(m)

    设 m 是正整数,$1,2,\cdots,m$ 中与 m 互素的数的个数记作 φ(m),称为 Euler 函数。

  2. φ(m) 是积性函数。φ(1)=1,及

    $\phi(m)=m\prod\limits_{p\mid m}(1-\frac 1 p),m>1$

  3. 设 m 是正整数。我们有

    $\sum\limits_{d\mid m}\phi(d)=m$