the theory of numbers

作业

  1. 证明:$f(n)$ 的 $M\ddot obius$ 变换的 $M\ddot obius$ 变换为 $\sum\limits_{d \mid n}f(d)\tau(n/d)$

    证:题目大致意思是进行两次 mobius 变换。那么第一次 mobius 变换是 $F_1(n)=\sum\limits_{d\mid n}f(d)$ 。

    第二次 mobius 变换就是 $F_2(m) = \sum\limits_{n\mid m}F_1(n)=\sum\limits_{n\mid m}\sum\limits_{d \mid n}f(d)$ , 交换求和号得到

    $F_2(m)=\sum\limits_{d\mid m}(\sum\limits_{n\mid m}f(d))$ ,由于 $n\ge d$ ,括号内可化为 $f(d)\tau(m/d)$ ,得证。

  2. 求 $\mid \mu(n) \mid$ 的 mobius 变换及 mobius 逆变换

    变换: $\sum\limits_{d\mid n}\mid\mu(n)\mid = 2^{\omega(n)}$ , $\omega(n)$ 表示 n 的不同的素因数个数

    逆变换:首先,$\mu(n)$ 是积性的,即 $\mu(mn)=\mu(n)\mu(n)$ 。然后利用定义分类讨论。

实例

  1. 求 $Liouville$ 函数 $\lambda (n)$ 的 $M\ddot obius$ 变换。
  2. 求 $\mu^2(n)/\phi(n)$ 的 $M\ddot o bius$ 变换。
  3. 求 $\Omega(n)$ 的 $M\ddot o bius$ 变换。
  4. 求 $F(n)=n^t$ 的 $M\ddot obius$ 逆变换 $f(n)$ 。
  5. 求 $F(n)=\phi(n)$ 的 $M\ddot obius$ 变换。
  6. 求 $F(n)=lnn$ 的 $M\ddot o bius$ 逆变换 $\Lambda(n)$ 。

背景知识

由给定的数论函数 $f(n)(n\in N)$ ,构造一个新的数论函数

$F(n)=\sum \limits_{d\mid n} f(d),n\in N \cdots(1)$ ,例如

$f(n)$ 1 n $\mu(n)$ $\phi(n)$
$F(n)$ $\tau(n)$ $\sigma(n)$ $[1/n]$ $n$

当 $f(n)$ 是积性函数时,求和式是容易计算的,我们将 $F(n)$ 称为是 $f(n)$ 的 $M \ddot o bius$ 变换。而把 $f(n)$ 称为是 $F(n)$ 的 $M\ddot obius$ 逆变换。

  1. 设 $f(n)$ 和 $F(n)$ 是定义在 N 上的数论函数,那么式子(1)成立的充要条件是

    $f(n)=\sum\limits_{d \mid n}\mu(d)F(\frac n d)$

  2. 设 $h(n),g(n)$ 是定义在 N 上的积性函数,那么

    $H(n) = \sum\limits_{d \mid m}h(d)g(\frac n d),n\in N$

    这叫 $Dirichlet$ 卷积。

  3. 设 $F(n)$ 是 $f(n)$ 的 $M\ddot o bius$ 变换,那么,$f(n)$ 是积性函数的充要条件是 $F(n)$ 也是积性函数。